TH1: M nằm giữa A và B

  

kẻ MQ_|_ DC tại Q

FN_|_DC tại N

EH_|_DC tại H

ta có E là trung điểm của BD; F là trung điểm của AC

=> EF là đuờng trung bình ứng với cạnh DC

=> EF//DC

ta có MQ_|_DC tại Q mà EF//DC

=> MQ_|_EF tại R

ta có: EH_|_DC

FN_|_DC 

MQ_|_DC

MK_|_DC

=> EH//FN//MQ//MK

ta có góc MFE= góc FKD(MK chung và EF//NK)

 xét 2 tam giác vuông MFR và FKN có:

FM=FK(gt)

 góc MFE= góc FKD(cmt)

=> tam giác FMR=tam giác FKN(CH-GN)

=> RF=NK(1)

ta có góc MEF=góc EHC( do MH chung và EF//DC)

xét 2 tam giác vuông MER và EHP có:

góc MEF= góc EHC(cmt)

ME=EH(gt)

=> tam giác MER= tamgiác EHP(CH-GN)

=> ER=HP(2)

ta có: EF//PN

EH//FN

=> EF=HN(3)

từ (1)(2)(3) =>

EF=HN

RF=NK

ER=HP

ta có : HK=HP+PN+NK=ER+RF+EF=EF+EF

=>HK=2EF

 TH2:M trùng A=> AC trùng MK=> C trùng K

M trùng A nên ME cũng trùng MH

kẻ FP//EH ( P thuộc DC)

xét tam giác EAB và tam giác EHD có':

góc AEB= góc DEH(2 góc đối đỉnh)

ED=EB(gt)

góc  BAE= góc EHD( AB//CD)

=> tam giác EAB= tam giác EHD(g.c.g)

=> AE=EH=1/2AH

ta có: E là trung điểm của AH; F là trung điểm của AC

=> EF là đường trung bình của tam giác AHC

=> EF//DC

EH//FP

=>tứ giác EFPH là hình bình hành

=> EH=FP

xét tam giác AEF và tam giác FCPcó:

AF=FC(gt)

góc AFE= góc FCP(EF//DC)

EH=FP(cmt)

=> tam giác AEF= tam giác FCP(c.g.c)

=>EF=PC

mà EF=HP( do tứ giác EFPH là hình bình hành)

=> EF=HP=PK

ta có: HK=HP+PK=EF+EF=2EF

TH3:M trùng B=>BD trùng MH và BF trùng MK

kẻ EP // FK

xét tam giác FBA và tam giác FKC có:

FA=FC(gt)

góc AFB= góc KFC( 2 góc đối đỉnh)

góc BAF= góc KCF( AB//CD)

=> tam giác FBA= tam giác FKC(g.c.g)

=> FB=FK

ta có E là trung điểm của BD ; F là trung điểm của BK

=> EF là đường trung bình của tam giác BDK

=> EF//PK

mà EP//FK

=> EF=PK và EP=FK

ta có: EF//DP

BF//EP

=> góc EBF= góc DEP

xét tam giác BEF và tam giác EDP có:

ED=EB(gt)

góc BEF= góc EDP(EF//DC)

góc DEP= góc EBF(cmt)

=> tam giác BEF= tam giác EDP(g.c.g)

=> DP=EF và bằng PK

ta có: HK=(hay DP)HP+PK=EF+EF

=> HK=2EF

từ 3 trường hợp nêu trên =>  nếu M nằm giữa AB, M trùng A hoặc M trùng B thì độ dài của HK vẫn không đổi và luôn bằng 2EF

vậy độ dài của HK không đổi và luôn bằng 2EF khi M di động trên AB

vì HK luôn bằng 2EF nên độ dài k đổi khi M di động trên AB

Gọi M' , N' lần lượt là các điểm đối xứng của M và N qua Ox và Oy , suy ra M', N' cố định

Khi đó ta có : AM = AM' , BN = BN'

=> AM + AB + BN = AM' + AB + BN ' \(\ge\)M'N' (hằng số)

Vậy AM + AB + BN đạt giá trị nhỏ nhất bằng M'N' khi A,B lần lượt là giao điểm của M'N' với Ox và Oy

Vì a+b=c+d;\(a^2+b^2=c^2+d^2\)nên:\(a^{2013}+b^{2013}=\left(a+b\right)^{2013}\)và \(c^{2013}+d^{2013}=\left(c+d\right)^{2013}\)vậy

\(\left(a+b\right)^{2013}=\left(c+d\right)^{2013}\).Đến đây ta thấy a+b=c+d nên chắc chắn \(a^{2013}+b^{2013}=c^{2013}+d^{2013}\)

ai có thể giải thích cho mk hiểu tại sao a²⁰¹³+b²⁰¹³=(a+b)²⁰¹³ đc ko

Đặt đa thức là M

\(\Rightarrow M=n^2\left(n^6-n^4-n^2+1\right)\)

\(\Rightarrow M=n^2\left[n^4\left(n^2-1\right)-\left(n^2-1\right)\right]\)

\(\Rightarrow M=n^2\left(n^2-1\right)\left(n^4-1\right)\)

\(\Rightarrow M=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Ta có

n(n - 1)(n+1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3

\(\Rightarrow\left[n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]\left[n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]\) chia hết cho 9

=> M chia hết cho 9

Mặt khác

Vì n là số lẻ nên n - 1 và n+1 là số chẵn

=> (n - 1)(n+1) chia hết cho 8

\(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+1\right)\left(n-1\right)\) chia hết cho 128

=> M chia hết cho 128

Mà (9;128)=1

=> M chia hết cho 9x128=1152 ( đpcm )

...??? mk chiuj^^ ^_^

Khổ rồi!

sao khổ

Bài 1:
Theo đầu bài ta có: 
\(a+b+c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{cases}}\)
Từ đó suy ra:
\(H=a\cdot\left(a+b\right)\cdot\left(a+c\right)\)
\(=a\cdot-c\cdot-b\)
\(=a\cdot b\cdot c\)

\(K=c\cdot\left(c+a\right)\cdot\left(c+b\right)\)
\(=c\cdot-b\cdot-a\)
\(=a\cdot b\cdot c\)
Vậy H = K    ( đpcm )

Này bạn, tớ thấy bài 1 đề phải là a + b + c = 0 chứ. Sao lại a + b + b = 0 được

d)  2 tam giác MCN và ACN có cùng chiều cao hạ từ C đến AN nên: \(\frac{S_{MCN}}{S_{ACN}}=\frac{MN}{AN}\)                              (1)

2 tam giác BMN và ABN có cùng chiều cao hạ từ B đến AN nên: \(\frac{S_{BMN}}{S_{ABN}}=\frac{MN}{AN}\)                                 (2)

Từ  (1)  và  (2)  ta suy ra \(\frac{MN}{AN}=\frac{S_{MCN}}{S_{ACN}}=\frac{S_{BMN}}{S_{ABN}}=\frac{S_{MCN}+S_{BMN}}{S_{ACN}+S_{ABN}}=\frac{S_{MBC}}{S_{ABC}}\)\(\Rightarrow\)\(\frac{MN}{AN}=\frac{S_{MBC}}{S_{ABC}}\)

Chứng minh tương tự ta có \(\frac{MP}{BP}=\frac{S_{AMC}}{S_{ABC}}\)và \(\frac{MQ}{CQ}=\frac{S_{ABM}}{S_{ABC}}\)

Do đó \(\frac{MN}{AN}+\frac{MP}{BP}+\frac{MQ}{CQ}=\frac{S_{MBC}+S_{AMC}+S_{ABM}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)(đpcm).

a) Tg OBD và Tg ECO có 
g OBD = g ECO (tg ABC cân tại A) (1) 
g BOD = g OEC (gt) (2) 
(1) và (2) => Tg OBD đồng dạng Tg ECO 
=>OB/EC = BD/CO => OB*CO = EC*BD. 
Mà OB = CO => OBbình = EC*BD 
b) Ta có: gDOE = 180 độ - (gBOD + gEOC) 
= 180 độ - (gOEC + gCOE) 
= 180 độ - (180 độ - gOCE) 
= gOCE = gBCA = const (3) 
c) Theo câu a: Tg OBD đồng dạng Tg ECO => OD/EO = BD/CO => OD/ EO = BD/BO => 
=> OD*BO = EO*BD => EO/OB = OD/BD (4) 
Mặt khác: từ(3) =>gDOE = gOBD (5) 
từ (4) và (5) => TgEOD đồng dạng TgOBD 

Đặt \(\frac{EI}{ID}=k\).

Ta có \(S_{DIA}+S_{IAE}=S_{DAC}\left(=\frac{1}{4}S_{DEC}\right)\Rightarrow\left(1+k\right)S_{DIA}=S_{DAC}\)

Lại có : \(\frac{S_{DIC}}{S_{DBC}}=\frac{S_{DEC}}{k+1}:\frac{S_{DEC}}{2}=\frac{2}{k+1}\)

\(\Rightarrow\frac{\left(k+1+1\right)S_{DIA}}{2\left(k+1\right)S_{DIA}}=\frac{2}{k+1}\Rightarrow\frac{k+2}{2k+2}=\frac{2}{k+1}\Rightarrow k=2\)

Vậy thì EI = 2 ID hay \(DI=\frac{DE}{3}\)

sao bằng 1/4 DEC đc vậy