Cho a, b, c \(\in\)N* thỏa mãn:
(a + bc)(b + ac) = 13n
Chứng minh: n chia hết cho 2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
HB
Giải phương trình vô tỉ
1) \(\sqrt{1-\sqrt{x}}+\sqrt{4+x}=3\)
2) \(\sqrt[3]{x+45}-\sqrt[3]{x-16}=1\)
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 6 2018
Câu 1:
ĐK: \(0\leq x\leq 1\)
Áp dụng bđt Bunhiacopxky:
\(\text{VT}^2=(\sqrt{1-\sqrt{x}}+\sqrt{4+x})^2\leq [1-\sqrt{x}+\frac{4+x}{2}](1+2)\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}^2\leq 3\left(3+\frac{x-2\sqrt{x}}{2}\right)\)
Vì \(0\leq x\leq 1\Rightarrow x-2\sqrt{x}\leq \sqrt{x}-2\sqrt{x}=-\sqrt{x}\leq 0\)
Do đó: \(\text{VT}^2\leq 3.3=9\Rightarrow \text{VT}\leq 3\)
Dấu bằng xảy ra khi :
\(\frac{\sqrt{1-\sqrt{x}}}{1}=\frac{\sqrt{4+x}}{2}; x=\sqrt{x}\Rightarrow x=0\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 6 2018
2)
\(\sqrt[3]{x+45}-\sqrt[3]{x-16}=1\)
Đặt \(\sqrt[3]{x+45}=a; \sqrt[3]{x-16}=b\). Ta thu được HPT:
\(\left\{\begin{matrix} a-b=1\\ a^3-b^3=61\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b=1\\ (a-b)^3+3ab(a-b)=61\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b=1\\ 1+3ab=61\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b=1\\ ab=20\end{matrix}\right.\)
Thay \(a=b+1\Rightarrow (b+1)b=20\)
\(\Leftrightarrow b^2+b-20=0\Leftrightarrow (b-4)(b+5)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} b=4\rightarrow x=80\\ b=-5\rightarrow x=-109\end{matrix}\right.\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 6 2018
Lời giải:
Ta có:
\(P=\frac{a^2+1}{b^2+1}+\frac{b^2+1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{a^2+1}\)
\(=a^2+1-\frac{b^2(a^2+1)}{b^2+1}+b^2+1-\frac{c^2(b^2+1)}{c^2+1}+c^2+1-\frac{a^2(c^2+1)}{a^2+1}\)
\(=a^2+b^2+c^2+3-\left(\frac{b^2(a^2+1)}{b^2+1}+\frac{c^2(b^2+1)}{c^2+1}+\frac{a^2(c^2+1)}{a^2+1}\right)(*)\)
Vì \(a,b,c\geq 0; a+b+c=1\Rightarrow 0\leq a,b,c\leq 1\)
\(\Rightarrow 0\leq a^2,b^2,c^2\leq 1\)
Do đó:
\(\frac{b^2(a^2+1)}{b^2+1}+\frac{c^2(b^2+1)}{c^2+1}+\frac{a^2(c^2+1)}{a^2+1}\geq \frac{b^2(a^2+1)}{2}+\frac{c^2(b^2+1)}{2}+\frac{a^2(c^2+1)}{2}(**)\)
Từ \((*);(**)\Rightarrow P\leq a^2+b^2+c^2+3-\frac{a^2+b^2+c^2+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}{2}=3+\frac{a^2+b^2+c^2-(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}{2}\)
Mà: \(a^2+b^2+c^2-(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=(a+b+c)^2-[2(ab+bc+ac)+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2]\)
\(=1-[2(ab+bc+ac)+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2]\leq 1\) do \(a,b,c\geq 0\)
Suy ra \(P\leq 3+\frac{a^2+b^2+c^2-(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}{2}\leq 3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}\)
Vậy \(P_{\max}=\frac{7}{2}\Leftrightarrow (a,b,c)=(1,0,0)\) và hoán vị.
13 tháng 6 2018
Ai vietsub lại cái đề cho t cái
Mặc dù là tiếng việt nhưng t đọc dell hiểu gì _-_
HN
13 tháng 6 2018
Trẻ em mẫu giáo là mầm non của đất nước. Phải được thương yêu chứ không phải la mắng vậy 
.
T vô tội. Người đăng câu hỏi mới có tội
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 6 2018
Câu 6b:
Phản chứng. Giả sử $a,b,c$ đồng thời là các số nguyên tố (đường nhiên khác nhau)
Theo bài ra ta có:
\(\left\{\begin{matrix} a+b+ab\vdots c\\ b+c+bc\vdots a\\ c+a+ac\vdots b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+c+ab+bc+ac\vdots c\\ a+b+c+ab+bc+ac\vdots a\\ a+b+c+ab+bc+ac\vdots b\end{matrix}\right.\)
Vì $a,b,c$ là các số nguyên tố khác nhau nên $(a,b,c)$ đôi một nguyên tố cùng nhau
Do đó:
\(a+b+c+ab+bc+ac\vdots abc\)
Đặt \(a+b+c+ab+bc+ac=kabc\) (\(k\in\mathbb{N}^*)\)
\(\Rightarrow k=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}(*)\)
Giả sử \(a=\min (a,b,c)\) Nếu $a=2$ thì $b,c$ sẽ là snt lẻ. Theo đề bài thì:\( b+c+bc\vdots 2\) (hoàn toàn vô lý do \(b+c+bc\) lẻ với $b,c$ lẻ)
Do đó \(\min (a,b,c)>2(**)\)
Từ \((*);(**)\Rightarrow k\leq \frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\frac{1}{3.7}< 1\) (vl vì $k$ là số nguyên dương)
Vậy điều giả sử hoàn toàn vl
Tức là $a,b,c$ không thể đồng thời là các số nguyên tố (đpcm)
P/s: Đây là đề tỉnh nào đây bạn? Bạn làm bài tốt chứ :)
Ai onl nick này v -.-
t nghĩ a Hung onl chứ ai