Tìm các số x,y,z thỏa mãn \(x^2\)+\(y^2\)+ 25\(z^2\)= 6xz + 8yz và 3\(x^2\)+\(2y^2\)+\(z^2\)=240
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(x^2+y^2+25z^2-6xz-8yz=0\Leftrightarrow\left(x-3z\right)^2+\left(y-4z\right)^2=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3z\\y=4z\end{cases}}\)
\(3x^2+2y^2+z^2=3.\left(3z\right)^2+2.\left(4z\right)^2+z^2=60z^2=240\Leftrightarrow z=\pm2\).
Vậy ta có hai nghiệm thỏa mãn là: \(\left(6,8,2\right)\)và \(\left(-6,-8,-2\right)\).
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
https://diendantoanhoc.net/topic/182493-%C4%91%E1%BB%81-thi-tuy%E1%BB%83n-sinh-v%C3%A0o-l%E1%BB%9Bp-10-%C4%91hsp-h%C3%A0-n%E1%BB%99i-n%C4%83m-2018-v%C3%B2ng-2/
bài này năm trrong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ĐHSP Hà Nội Năm 2018 (vòng 2) bn có thể tìm đáp án trên mạng để tham khảo
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(P=\sqrt{\left(x-3\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(y-3\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(z-3\right)^2+4^2}\)
\(P\ge\sqrt{\left(x-3+y-3+z-3\right)^2+\left(4+4+4\right)^2}=6\sqrt{5}\)
\(P_{min}=6\sqrt{5}\) khi \(x=y=z=1\)
Mặt khác với mọi \(x\in\left[0;3\right]\) ta có:
\(\sqrt{x^2-6x+25}\le\dfrac{15-x}{3}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(9\left(x^2-6x+25\right)\le\left(15-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow8x\left(3-x\right)\ge0\) luôn đúng
Tương tự: ...
\(\Rightarrow P\le\dfrac{45-\left(x+y+z\right)}{3}=14\)
\(P_{max}=14\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;3\right)\) và hoán vị
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ta có :
\(\frac{2}{y-2}=\frac{3}{z+2}\Leftrightarrow\frac{2}{y}=\frac{3}{z+5}\Leftrightarrow\frac{4}{y^2}=\frac{9}{\left(z+5\right)^2}\) hay ta có :\(\left(z+5\right)^2=\frac{9}{4}y^2\Rightarrow2y^2-\frac{9}{4}y^2=-25\Leftrightarrow y^2=100\)
TH1.\(y=10\Rightarrow\frac{4}{x+1}=\frac{2}{10-2}=\frac{3}{z+2}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=15\\z=10\end{cases}}\)
TH2.\(y=-10\Rightarrow\frac{4}{x+1}=\frac{2}{-10-2}=\frac{3}{z+2}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-25\\z=-20\end{cases}}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có :
\(A=\sqrt{\left(x-y\right)^2}+\sqrt{\left(y-z\right)^2}+\sqrt{\left(z-x\right)^2}\)
\(=\left|x-y\right|+\left|y-z\right|+\left|z-x\right|\)
không mất tính tổng quát, giả sử \(0\le z\le y\le x\le3\)
Khi đó : A = x - y + y - z + x - z = 2x - 2z
vì \(0\le z\le x\le3\)nên : \(2x\le6;-2z\le0\Rightarrow2x-2z\le6\)
\(\Rightarrow A\le6\)
Vậy GTNN của A là 6 khi x = 3 ; z = 0 và y thỏa mãn \(0\le y\le3\)và các hoán vị
Có \(x^2+9z^2\ge6xz\)
\(y^2+16z^2\ge8yz\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+25z^2\ge6xz+8yz\)
Dấu = xảy ra <=> \(x=3z;y=4z\)
Có \(3x^2+2y^2+z^2=240\)
\(\Leftrightarrow27z^2+32z^2+z^2=240\)
\(\Leftrightarrow z^2=4\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}z=2\\z=-2\end{matrix}\right.\)
TH1: \(z=2\Rightarrow x=6;y=8\) (Thỏa)
TH2: \(z=-2\Rightarrow x=-6;y=-8\) (Thỏa)
Vậy...