Question

[Nguyễn Văn Tuấn]

Cho đường tròn tâm O bán kính 3cm. Từ một điểm A cách O là 5cm vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Từ 1 điểm M bất kì trên cung nhỏ CB vẽ tiếp tuyến với (O) cắt AB, AC lần lượt tại N và Q:
a) Tính chu vi tam giác ABC
b) Tính chu vi tam giác AQN
c) Tính <QNO

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Gọi H là giao điểm của AO và BC

Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét ΔOBA vuông tại B có \(OA^2=OB^2+BA^2\)

=>\(BA^2+3^2=5^2\)

=>\(BA^2+9=25\)

=>\(BA^2=25-9=16\)

=>BA=4(cm)

AB=AC

mà AB=4cm

nên AC=4cm

Xét ΔBAO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(BH\cdot OA=OB\cdot BA\)

=>\(BH\cdot5=3\cdot4=12\)

=>BH=12/5=2,4(cm)

H là trung điểm của BC

=>BC=2*BH=2*2,4=4,8(cm)

Chu vi tam giác ABC là:

\(C_{ABC}=AB+AC+BC=4+4+4,8=12,8\left(cm\right)\)

b: Xét (O) có

NM,NB là tiếp tuyến

Do đó: NM=NB và ON là phân giác của góc MOB

ON là phân giác của góc MOB

=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{NOM}\)

Xét (O) có

QM,QC là tiếp tuyến

Do đó: QM=QC và OQ là phân giác của \(\widehat{MOC}\)

OQ là phân giác của góc MOC

=>\(\widehat{MOC}=2\cdot\widehat{MOQ}\)

Chu vi tam giác AQN là:

\(C_{ANQ}=AN+NQ+AQ\)

\(=AN+NM+MQ+AQ\)

\(=AN+NB+QC+AQ\)

=AB+AC

=4+4

=8(cm)

c: Xét ΔBOA vuông tại B có \(sinBOA=\dfrac{BA}{OA}=\dfrac{4}{5}\)

nên \(\widehat{BOA}\simeq53^0\)

Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

Do đó: OA là phân giác của góc BOC

=>\(\widehat{BOC}=2\cdot\widehat{BOA}\simeq106^0\)

Ta có: \(\widehat{BOM}+\widehat{COM}=\widehat{BOC}\)

=>\(2\cdot\left(\widehat{NOM}+\widehat{QOM}\right)=\widehat{BOC}\)

=>\(2\cdot\widehat{NOQ}=\widehat{BOC}\)

=>\(\widehat{NOQ}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BOC}=\widehat{BOA}\simeq53^0\)