Tính tổng sau: \(C^1_{2021}+C^3_{2021}+C^5_{2021}+...+C^{2017}_{2021}+C^{2019}_{2021}.\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 1 2021
Lời giải:
Ta sẽ đi CM đẳng thức tổng quát:
\((C^1_{2n})^2-(C^2_{2n})^2+(C^3_{2n})^2-....+(C^{2n-1}_{2n})^2-(C^{2n}_{2n})^2=C^n_{2n}+1\) với $n$ lẻ.
Theo nhị thức Newton ta có:
\((x^2-1)^{2n}=C^0_{2n}-C^1_{2n}x^2+C^2_{2n}x^4-....-C^n_{2n}x^{2n}+...+C^{2n}_{2n}x^{4n}\). Trong này, hệ số của $x^{2n}$ là $-C^n_{2n}$
Tiếp tục sử dụng nhị thức Newton:
\((x^2-1)^{2n}=(x+1)^{2n}(x-1)^{2n}=(C^0_{2n}+C^1_{2n}+C^2_{2n}x^2+...+C^{2n}_{2n}x^{2n})(C^0_{2n}x^{2n}-C^1_{2n}x^{2n-1}+C^2_{2n}x^{2n-2}-...+C^{2n}_{2n})\). Trong này, hệ số của $x^{2n}$ là
\((C^0_{2n})^2-(C^1_{2n})^2+(C^2_{2n})^2-.....+(C^{2n}_{2n})^2\)
Do đó:
\(-C^n_{2n}=(C^0_{2n})^2-(C^1_{2n})^2+(C^2_{2n})^2-.....+(C^{2n}_{2n})^2\)
\(\Leftrightarrow -C^n_{2n}=1-(C^1_{2n})^2+(C^2_{2n})^2-.....+(C^{2n}_{2n})^2\)
\(\Leftrightarrow (C^1_{2n})^2-(C^2_{2n})^2+...-(C^2_{2n})^2=1+C^n_{2n}\)
Thay $n=1011$ ta có đpcm.
DT
0
M
1
9 tháng 3 2021
Ta thấy \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\ge\dfrac{x^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{y^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{z^2}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\).
Mà đẳng thức xảy ra nên ta phải có x = y = z = 0 (Do \(a^2,b^2,c^2>0\)).
Thay vào đẳng thức cần cm ta có đpcm.
HG
0
Xét khai triển:
\(2^{2021}=\left(1+1\right)^{2021}=C_{2021}^0+C_{2021}^1+...+C_{2021}^{2020}+C_{2021}^{2021}\) (1)
\(0=\left(1-1\right)^{2021}=C_{2021}^0-C_{2021}^1+C_{2021}^2+...+C_{2021}^{2020}-C_{2021}^{2021}\) (2)
Trừ vế cho vế (1) và (2):
\(2^{2021}=2.C_{2021}^1+2.C_{2021}^3+...+2C_{2021}^{2021}\)
\(\Rightarrow C_{2021}^1+C_{2021}^3+...+C_{2021}^{2019}+C_{2021}^{2021}=\dfrac{2^{2021}}{2}=2^{2020}\)
\(\Rightarrow C_{2021}^1+C_{2021}^3+...+C_{2021}^{2019}+1=2^{2020}\)
\(\Rightarrow C_{2021}^1+C_{2021}^3+...+C_{2021}^{2019}=2^{2020}-1\)