: Chứng minh rằng :
12 + 22 + 32 + … + n2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PT
1
CM
21 tháng 6 2018
+ Với n = 1 :
⇒ (3) đúng với n = 1
+ Giả sử đẳng thức (3) đúng với n = k nghĩa là :
Cần chứng minh (3) đúng khi n = k + 1, tức là:
Thật vậy:
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
6 tháng 3 2023
Bài 1 :
A = 12 + 22 + 32 +....+n2
A = 12 + 2.(1+1) + 3.(2 +1) + 4.( 3 +1) +.....+n(n-1 + 1)
A = 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + 3.4 + 4 +.....+ n.(n-1) + n
A = ( 1 + 2 + 3 + 4 +....+n) + ( 1.2 + 2.3 + 3.4 +....+(n-1).n
A = (n+1).{(n-1):n+1)/2 +1/3.[1.2.3 +2.3.3 +.....+(n-1)n.3]
A = (n+1).n/2+1/3.[1.2.3 +2.3.(4-1)+ ...+(n-1).n [(n+1) - (n -2)]
A = (n+1)n/2+1/3.( 1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 +..+ (n-1)n(n+1)- (n-2)(n-1)n)
A =(n+1)n/2 + 1/3.(n-1)n(n+1)
A = n(n+1)[1/2 + 1/3 .(n-1)]
A = n.(n+1) \(\dfrac{3+2n-2}{6}\)
A= n.(n+1)(2n+1)/6
Bài 2 :
a, (x+1) +(x+2) + (x+3)+...+(x+10) = 5070
(x+10 +x+1).{( x+10 - x -1): 1 +1):2 = 5070
(2x + 11)10 : 2 = 5070
( 2x + 11)5 = 5070
2x+ 11 = 5070:5
2x = 1014 - 11
2x = 1003
x = 1003 :2
x = 501,5
b, 1 + 2 + 3 +...+x = 820
( x + 1)[ (x-1):1 +1] : 2 = 820
(x +1).x = 820 x 2
(x +1).x = 1640
(x +1) .x = 40 x 41
x = 40
PT
1
CM
26 tháng 12 2018
Ta có n 2 (n + 1) + 2n(n + 1) = ( n 2 + 2n).(n+ 1)= n(n+ 2).(n+1) = n(n + 1)(n + 2)
Vì n và n + 1 là 2 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2
⇒ n(n + 1) ⋮ 2
n, n + 1, n + 2 là 3 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3
⇒ n(n + 1)(n + 2) ⋮ 3 mà ƯCLN (2;3) = 1
vậy n(n + 1)(n + 2) ⋮ (2.3) = 6 với mọi số nguyên n
EH
1
15 tháng 10 2021
\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\)
\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
Vì n;n+1;n+2 là ba số nguyên liên tiếp
nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3!\)
hay \(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)⋮6\)
CM
17 tháng 6 2019
Ta có:
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
* Với n = 1, ta có: 2 - 1 2 = 9 - 8
* Với n = 2, ta có: 3 - 2 2 = 25 - 24
* Với n = 3, ta có: 4 - 3 2 = 49 - 48
* Với n = 4, ta có: 5 - 4 2 = 81 - 80
NH
0
2 tháng 10 2021
Bài 1:
Ta có: \(2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n-3\right)\)
\(=2n^3+2n^2-2n^3-2n^2+6n\)
\(=6n⋮6\)
2 tháng 10 2021
1) \(2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n-3\right)=2n^3+2n^2-2n^3-2n^2+6n=6n⋮6\forall n\in Z\)
2) \(n\left(3-2n\right)-\left(n-1\right)\left(1+4n\right)-1=3n-2n^2-4n^2+3n+1-1=-6n^2+6n=6\left(-n^2+n\right)⋮6\forall n\in Z\)
11 tháng 10 2021
\(a,\sqrt{22-12\sqrt{2}}+\sqrt{6+4\sqrt{2}}=\sqrt{\left(3\sqrt{2}-2\right)^2}+\sqrt{\left(2+\sqrt{2}\right)^2}\\ =3\sqrt{2}-2+2+\sqrt{2}=4\sqrt{2}\\ b,\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\dfrac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{n-n-1}\\ =\dfrac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{-1}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
11 tháng 10 2021
a) \(\sqrt{22-12\sqrt{2}}+\sqrt{6+4\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{\left(3\sqrt{2}-2\right)^2}+\sqrt{\left(2+\sqrt{2}\right)^2}\)
\(=3\sqrt{2}-2+2+\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)
b) \(\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Lời giải 1 :
Xét trường hợp n chẵn :
12 + 22 + 32 + … + n2 = (12 + 32 + 52 + … + (n – 1)2) + (22 + 42 + 62 + … + n2)
= [(n – 1).n.(n + 1) + n.(n + 1).(n + 2)]/6
= n.(n + 1).(n -1 + n + 2)/6 = n.(n + 1).(2n + 1)/6
Tương tự với trường hợp n lẻ, ta có
12 + 22 + 32 + … + n2 = (12 + 32 + 52 + … + n 2) + (22 + 42 + 62 + … + (n – 1)2)
= n(n + 1)(n + 2)/6 + (n – 1)n(n + 1)/6
= n(n + 1)(n + 2 + n – 1)/6
= n(n + 1)( 2n + 1) /6 ( ®pcm)
Lêi gi¶i 2 :
S = 1² + 2² + 3² + 4² +…+ n²
S = 1.1 + 2.2 + 3.3 +4.4 + … + n.n = 1.(2-1) + 2(3-1) + 3(4-1) + 4(5-1) + …n[(n+1)-1]
= 1.2 – 1+ 2.3 – 2 + 3.4 – 3 + 4.5 – 4 +…+ n(n + 1 ) – n
= 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …+ n( n + 1 ) – ( 1 + 2 + 3 +4 + … + n )
= - = n( n + 1 ). ) = n( n + 1)
Vậy S =