Question

[Nguyễn Nguyên Đạt]

: Chứng minh rằng :

1² + 2² + 3² + … + n² = n.(n + 1)(2n + 1)/6 

Answer 1

[Nguyễn Nguyên Đạt]

Lời giải 1 :

Xét trường hợp n chẵn :

1² + 2² + 3² + … + n² = (1² + 3² + 5² + … + (n – 1)²) + (2² + 4² + 6² + … + n²)

= [(n – 1).n.(n + 1) + n.(n + 1).(n + 2)]/6

= n.(n + 1).(n -1 + n + 2)/6 = n.(n + 1).(2n + 1)/6

Tương tự với trường hợp n lẻ, ta có

1² + 2² + 3² + … + n² = (1² + 3² + 5² + … + n ²) + (2² + 4² + 6² + … + (n – 1)²)

=  n(n + 1)(n + 2)/6 + (n – 1)n(n + 1)/6

= n(n + 1)(n + 2 + n – 1)/6

= n(n + 1)( 2n + 1) /6  ( ®pcm)

Lêi gi¶i 2 :

S = 1² + 2² + 3² + 4² +…+  n²

S = 1.1 + 2.2 + 3.3 +4.4 + … + n.n  = 1.(2-1) + 2(3-1) + 3(4-1) + 4(5-1) + …n[(n+1)-1]

   = 1.2 – 1+ 2.3 – 2 + 3.4 – 3 + 4.5 – 4 +…+ n(n + 1 ) – n 

   =  1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …+ n( n + 1 ) – ( 1 + 2 + 3 +4 + … + n )

   =     -   = n( n + 1 ). ) = n( n + 1) 

Vậy  S =