Question

[Lê Hương Giang]

Cho hình bình hành ABCD. Từ A kẻ AI vuông góc với BD, từ C kẻ CK vuông góc với BD (I, K thuộc BD)

a) Tứ giác AICK là hình gì? Tại sao?

b) Tia AI cắt CD tại M, tia CK cắt AB tại N. Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành

Answer 1

[Nguyen Thi Huyen]

a) Vì ABCD là hình bình hành \(\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AD//BC\\AD=BC\end{matrix}\right.\)\(\left(t/c\right)\)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}AI\perp BD\\CK\perp BD\end{matrix}\right.\)\(\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AID}=\widehat{BKC}=90^o\\AI//CK\end{matrix}\right.\)

Vì \(AD//BC\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{ADI}=\widehat{CBK}\) (2 góc so le trong)

Xét \(\Delta AID\) và \(\Delta CKB\) có:

\(\widehat{AID}=\widehat{BKC}=90^o\left(cmt\right)\)

\(AD=BC\left(cmt\right)\)

\(\widehat{ADI}=\widehat{CBK}\left(cmt\right)\)

Nên \(\Delta AID=\Delta CKB\) (ch-gn)

\(\Rightarrow AI=CK\) (2 cạnh tương ứng)
Xét tứ giác AICK có \(\left\{{}\begin{matrix}AI//CK\left(cmt\right)\\AI=CK\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) AICK là hình bình hành (dhnb)
b) Vì \(AI//CK\left(cma\right)\Leftrightarrow AM//CN\)

Vì ABCD là hình bình hành \(\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow AB//CD\Leftrightarrow AN//CM\)

Xét tứ giác AMCN có \(\left\{{}\begin{matrix}AM//CN\left(cmt\right)\\AN//CM\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) AMCN là hình bình hành (dhnb).