Cho tứ giác ABCD
a) Chứng minh: AB2-BC2+CD2-DA2=2\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}\)
b) Suy ra điều kiện cần vầ đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là: AB2+CD2=BC2+DA2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2021
\(AB^2+CD^2-\left(BC^2+DA^2\right)=\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{CD}^2-\overrightarrow{BC}^2-\overrightarrow{AD}^2\)
\(=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right)+\left(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BC}\right)\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}\right)\)
\(=\overrightarrow{DB}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{DB}\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}\right)\)
\(=\overrightarrow{DB}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}\right)\)
\(=2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}\) (đpcm)
NQ
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 3 2021
Ta có: \(AC^2+BD^2=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)^2+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}\right)^2\)
\(=AB^2+AD^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+BC^2+BA^2+2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}\)
\(=AB^2+AD^2+BC^2+AD^2+2\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}\right)\)
\(=AB^2+AD^2+BC^2+AD^2\)
CM
5 tháng 6 2017
Kẻ đường kính BB’. Nối B’A, B’D, B’C.
Ta có:
= 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ AC // B'D ( cùng vuông góc với BD)
Suy ra, tứ giác ADB’C là hình thang
Vì ADB’C nội tiếp đường tròn (O) nên ADB’C là hình thang cân
⇒ CD = AB'
⇒ A B 2 + C D 2 = A B 2 + A B ' 2
Mà tam giác BAB’ vuông tại A do 
= 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ A B 2 + C D 2 = A B 2 + A B ' 2 = 2 R 2 = 4 R 2 (đpcm)
HP
17 tháng 12 2020
a, \(\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)^2=\overrightarrow{BC}^2\)
\(\Leftrightarrow AC^2+AB^2-2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=BC^2\)
\(\Leftrightarrow2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB^2+AC^2-BC^2\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}=\dfrac{5^2+8^2-7^2}{2}=20\)
b, \(2\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=CA^2+CB^2-BC^2=CA^2\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=\dfrac{CA^2}{2}=\dfrac{8^2}{2}=32\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 12 2020
Lời giải:
a)
\(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^2=\overrightarrow{BC}^2\Leftrightarrow AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=BC^2\)
\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB^2+AC^2-BC^2\) (đpcm)
Ta có:
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}=\frac{5^2+8^2-7^2}{2}=20\)
\(\cos \angle A=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|}=\frac{20}{5.8}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \angle A=60^0\)
b)
Tương tự phần a, \(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=\frac{CA^2+CB^2-AB^2}{2}=\frac{8^2+7^2-5^2}{2}=44\)
13 tháng 3 2022
Câu 20: Tam giác ABC vuông tại B suy ra:
A. AC2 = AB2 + BC2 B. AC2 = AB2 - BC2
C. BC2 = AB2 + AC2 D. AB2 = BC2 + AC2
Câu 21: Tam giác ABC có BC = 5cm; AC = 12cm; AB = 13cm. Tam giác ABC vuông tại đâu?
A. Tại B B. Tại C
C. Tại A D. Không phải là tam giác vuông
Câu 22: Cho ABC có = 900 ; AB = 4,5 cm ; BC = 7,5 cm. Độ dài cạnh AC là:
A. 6,5 cm B. 5,5 cm C. 6 cm D. 6,2 cm
Câu 23: Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài các cạnh là:
A. 3cm, 4dm, 5cm. B. 5cm, 14cm, 12cm.
C. 5cm, 5cm, 8cm. D. 9cm, 15cm, 12cm.
Câu 24: Cho ABC có AB = AC và = 600, khi đó tam giác ABC là:
A. Tam giác vuông B. Tam giác cân
C. Tam giác đều D. Tam giác vuông cân
Câu 25: Nếu A là góc ở đáy của một tam giác cân thì:
A. ∠A ≤ 900 B. ∠A > 900 C. ∠A < 900 D. ∠A = 900
NH
1
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
16 tháng 7 2023
Kéo dài DA và CB lần lượt về phía A và B cắt nhau tại E
Xét tam giác DCE có \(\widehat{DEC}\) = 1800 - (\(\widehat{EDC}\) + \(\widehat{ECD}\)) = 1800- 900 = 900
⇒\(\Delta\)DEC vuông tại E
Xét \(\Delta\)AEB Theo pytago ta có: AE2 + BE2 = AB2
Tương tự ta có: DE2 + CE2 = DC2
Cộng vế với vế ta có: AE2 + BE2 + DE2 + CE2 = AB2+DC2
AE2 + CE2+BE2+DE2 = AB2+DC2 (1)
Xét \(\Delta\)AEC theo pytago ta có: AE2+ CE2 = AC2
Tương tự ta có: BE2 + DE2 = BD2
Cộng vế với vế ta có: AE2 + CE2 + BE2+ DE2 = AC2 + BD2 (2)
Từ (1) và (2) ta có: AC2 + BD2 = AB2 + DC2(đpcm)