![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Giả sử tồn tại số nguyên n thoả mãn \(\left(2014^{2014}+1\right)\) chia hết cho \(n^3+2012n\)
Ta có: \(n^3+2012n=\left(n^3-n\right)+2013n=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2013n\)
Vì: \(n-1,n,n+1\) là ba số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3
Suy ra \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) chia hết cho 3, mà 2013 chia hết cho 3 nên \(\left(n^3+2012n\right)\) chia hết cho 3 (1)
Mặt khác: \(2014^{2014}+1=\left(2013+1\right)^{2014}+1\) chia 3 dư 2 ( vì 2013 chia hết cho 3) (2)
Từ (1) và (2) dẫn đến điều giả sử trên là vô lý, tức là không có số nguyên n nào thoả mãn đề bài toán đã cho
d.violet.vn//uploads/resources/present/3/652/138/preview.swf
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(n^5+2021=30m\Leftrightarrow n^5-19=30\left(m-68\right)\)
\(\Rightarrow n^5\equiv19\left(mod30\right)\)
Mà \(19^5\equiv19\left(mod30\right)\Rightarrow n\equiv19\left(mod30\right)\)
\(\Rightarrow n=30k+19\) với \(\left\{{}\begin{matrix}k\le66\\k\in N\end{matrix}\right.\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Cái này không LATEX đc, đề là:
Tìm tất cả số nguyên dương n thỏa mãn:
\2^n+n|8^n+n\
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có : \(n^2-6n+5=\left(n-5\right)\left(n-1\right)\)(*)
Để (*) là số nguyên tố khi \(n-5=1\)và \(n-1\)là số nguyên tố
\(\Leftrightarrow n=6\left(tm\right)\)
Vậy n = 6 thì (*) là số nguyên tố
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1.
\(5=3xy+x+y\ge3xy+2\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(3\sqrt{xy}+5\right)\le0\Rightarrow xy\le1\)
\(P=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)+\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}-\sqrt{9-5xy}\)
\(P=\dfrac{\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2-2xy+x+y+2}{x^2y^2+\left(x+y\right)^2-2xy+1}-\sqrt{9-5xy}\)
Đặt \(xy=a\Rightarrow0< a\le1\)
\(P=\dfrac{\left(5-3a\right)^3-3a\left(5-3a\right)+\left(5-3a\right)^2-2a+5-3a+2}{a^2+\left(5-3a\right)^2-2a+1}-\sqrt{9-5a}\)
\(P=\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{2}.2\sqrt{9-5a}\)
\(P\ge\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{4}\left(4+9-5a\right)\)
\(P\ge\dfrac{-29a^3+161a^2-277a+145}{4\left(5a^2-16a+13\right)}=\dfrac{\left(1-a\right)\left(29a^2-132a+145\right)}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\)
\(P\ge\dfrac{\left(1-a\right)\left[29a^2+132\left(1-a\right)+13\right]}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\ge0\)
\(P_{min}=0\) khi \(a=1\) hay \(x=y=1\)
Hai phân thức của P rất khó làm gọn bằng AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz (nó hơi chặt)
2.
Đặt \(A=9^n+62\)
Do \(9^n⋮3\) với mọi \(n\in Z^+\) và 62 ko chia hết cho 3 nên \(A⋮̸3\)
Mặt khác tích của k số lẻ liên tiếp sẽ luôn chia hết cho 3 nếu \(k\ge3\)
\(\Rightarrow\) Bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi \(k=2\)
Do tích của 2 số lẻ liên tiếp đều không chia hết cho 3, gọi 2 số đó lần lượt là \(6m-1\) và \(6m+1\)
\(\Leftrightarrow\left(6m-1\right)\left(6m+1\right)=9^n+62\)
\(\Leftrightarrow36m^2=9^n+63\)
\(\Leftrightarrow4m^2=9^{n-1}+7\)
\(\Leftrightarrow\left(2m\right)^2-\left(3^{n-1}\right)^2=7\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-3^{n-1}\right)\left(2m+3^{n-1}\right)=7\)
Pt ước số cơ bản, bạn tự giải tiếp
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
- Với \(m=\left\{-2;-1;0\right\}\Rightarrow n=0\)
- Với \(m< -2\Rightarrow m\left(m+1\right)\left(m+2\right)< 0\) (ktm)
- Với \(m>0\):
\(m\left(m+1\right)\left(m+2\right)=\left(m+1\right)\left(m^2+2m\right)\)
Gọi \(d=ƯC\left(m+1;m^2+2m\right)\)
\(\Rightarrow\left(m+1\right)\left(m+1\right)-\left(m^2+2m\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
Mà \(\left(m+1\right)\left(m^2+2m\right)=n^2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1=a^2\\m^2+2m=b^2\end{matrix}\right.\)
Từ \(m^2+2m=b^2\Rightarrow\left(m+1\right)^2-b^2=1\)
\(\Rightarrow\left(m+1-b\right)\left(m+1+b\right)=1\)
Tới đây chắc dễ rồi