K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

9 tháng 3 2018

Điều kiện: x , y và z \(\ne0\)

Từ (1), suy ra \(\frac{1}{xy}=2-\frac{1}{yz}-\frac{1}{z}\)

Thay vào 2 . Ta được:

\(\frac{2}{yz}\left(2-\frac{1}{yz}-\frac{1}{z}\right)-\frac{1}{z^2}=4\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{yz}+\frac{1}{z}\right)^2+\left(\frac{1}{yz}-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y+1=0\\yz=\frac{1}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\left(-1\right)\\z=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Kết hợp với (1), ta được nghiệm của hệ đã cho là:

\(\left(x;y;z\right)=\left(-\frac{1}{2};-1;-\frac{1}{2}\right)\)

P/s: Đáng nhẽ mình không giải bài này đâu vì nếu giải bác Thắng nói mình này nọ! Nhưng vì không thấy ai giải nên cũng giải thử xem sao vậy! 

9 tháng 3 2018

Chỗ : "Thay vào 2 , ta được"

bạn sửa thành: "Thay vào (2) , ta được:" 

nhé! Vì tánh mình ẩu nên hay ghi thiếu lắm =))))

1 tháng 8 2018

\(pt\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{2}xy+\frac{3}{2}x+y+3=\frac{1}{2}xy+50\\\frac{1}{2}xy-x-y+2=\frac{1}{2}xy-32\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{3}{2}x+y=47\\-x-y=-34\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=26\\y=8\end{cases}}\)

Vậy pt có một nghiệm duy nhất (x;y) = (26;8).

13 tháng 7 2019

câu a) sáng giải

b) \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}=\frac{4^2}{2}=8>4\) vô nghiệm 

14 tháng 7 2019

a) ĐK: \(x,y\ne-1\)

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+x+y=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(1\right)\\\left(\frac{x}{y+1}\right)^2+\left(\frac{y}{x+1}\right)^2=1\left(2\right)\end{cases}}\)

(1) \(\Leftrightarrow\)\(\frac{x^2+x}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{y^2+y}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=1\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{y\left(y+1\right)}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=1\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=1\) (3) 

(2) \(\Leftrightarrow\)\(\left(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}\right)^2-\frac{2xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=1\)

\(\Leftrightarrow\)\(2xy=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)

Lại có: \(\left(\frac{x}{y+1}\right)^2+\left(\frac{y}{x+1}\right)^2\ge2\sqrt{\left(\frac{xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\right)^2}=2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\frac{x}{y+1}=\frac{y}{x+1}\)

\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\frac{2x}{y+1}=1\\2\left(\frac{x}{y+1}\right)^2=1\end{cases}\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y+1}\right)^2-\frac{x}{y+1}=0\Leftrightarrow\frac{x}{y+1}\left(\frac{x}{y+1}-1\right)=0}\)

\(\Rightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}\frac{x}{y+1}=0\\\frac{x}{y+1}-1=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0;y=1\\x=y+1\end{cases}\Leftrightarrow}x=y+1}\)

Thay x=y+1 vào (3) ta được: \(\frac{y}{x+1}=0\)\(\Leftrightarrow\)\(y=0\)\(\Rightarrow\)\(x=1\) ( tương tự với y ta cũng được x=0;y=1 ) 

tập nghiệm của pt \(\left(x,y\right)=\left\{\left(0;1\right),\left(1;0\right)\right\}\)

b) ĐK: \(x,y\ne0\) còn cách khác là dùng cosi nhé, VD: \(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=4\left(1\right)\\\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2=4\left(2\right)\end{cases}}\)

lấy (1) + (2) và cộng 2 vào 2 vế của pt mới ta được: 

\(10=a^2+1+b^2+1+\left(a+b\right)\ge2\sqrt{a^2}+2\sqrt{a^2}+4=12\)

\(\Rightarrow\)\(10\ge12\) (vô lí) => hpt vô nghiệm 

21 tháng 7 2020

đây là bài bất IMO 2008 

Đặt \(a=\frac{x}{x-1};b=\frac{y}{y-1};c=\frac{z}{z-1}\)từ đó giả thiết trở thành 

\(abc=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)Suy ra được : \(a+b+c-ab-bc-ca=1\)

Bài toán bây giờ trở thành chứng minh \(a^2+b^2+c^2\ge2\left(a+b+c-ab-bc-ca\right)-1\)

\(< =>\left(a+b+c-1\right)^2\ge0\)*đúng*

Vậy ta có điều phải chứng minh 

4 tháng 11 2018

a+b+c=1 => (a+b+c)2=1

=>a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=1

=>1+2(ab+bc+ca)=1

=>ab+bc+ca=0

Đặt \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\Rightarrow x=ak,y=bk,z=ck\)

\(A=xy+yz+zx=akbk+bkck+ckak=k^2\left(ab+bc+ca\right)=0\)