Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ĐKXĐ: ...
Lấy pt cuối trừ 3 lần pt đầu ta được:
\(\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^3+\left(\sqrt{y}-\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^3+\left(\sqrt{z}-\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^3=\frac{512}{27}\)
Pt (2) tương đương:
\(x+\frac{1}{x}-2+y+\frac{1}{y}-2+z+\frac{1}{z}-2=\frac{64}{9}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2=\frac{64}{9}\)
Đặt \(\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}};\sqrt{y}-\frac{1}{\sqrt{y}};\sqrt{z}-\frac{1}{\sqrt{z}}\right)=\left(a;b;c\right)\)
Hệ trở thành:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=\frac{8}{3}\\a^2+b^2+c^2=\frac{64}{9}\\a^3+b^3+c^3=\frac{512}{27}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=\frac{8}{3}\\ab+bc+ca=0\\a^3+b^3+c^3=\frac{512}{27}\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{512}{27}-3abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=\frac{512}{27}-3abc\)
\(\Leftrightarrow\frac{8}{3}.\left(\frac{64}{9}-0\right)=\frac{512}{27}-3abc\)
\(\Rightarrow abc=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=\frac{8}{3}\\ab+bc+ca=0\\abc=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(a;b;c\right)=\left(0;0;\frac{8}{3}\right)\) và hoán vị
Hay \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;9\right)\) và hoán vị
Có: \(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}x+y-3\ne0\\x-y+1\ne0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ne3-y\\x\ne y-1\end{cases}}}\)
Đặt: \(\hept{\begin{cases}x+y-3=a\\x-y+1=b\end{cases}}\)(1)
\(HPT\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{5}{a}-\frac{2}{b}=8\\\frac{3}{a}+\frac{1}{b}=1,5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{5}{a}-\frac{2}{b}=8\\\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=3\end{cases}}\Leftrightarrow\frac{11}{a}=11\Leftrightarrow a=1}\)
Bn giải b xong rồi giải tiếp HPT (1)
a)Đặt \(\frac{1}{x-1}=t;\frac{1}{y-1}=m\)
Ta có: \(\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-1}=10=5.\frac{1}{x-1}+\frac{1}{y-1}=10=5t+m=10\)
\(\frac{1}{x-1}+\frac{3}{y-1}=t+3.\frac{1}{y-1}=t+3m=18\)
Từ đây ta có HPT \(\hept{\begin{cases}5t+m=10\left(1\right)\\t+3m=18\left(2\right)\end{cases}}\)
\(5t+m=10\Rightarrow5t=10-m\Rightarrow t=\frac{10-m}{5}\),thay vào (2) ta có:
\(\frac{10-m}{5}+3m=18\Rightarrow\frac{10-m+15m}{5}=18\Rightarrow\frac{10+14m}{5}=18\)
=>10+14m=18.5=90=>14m=90-10=>14m=80=>m=\(\frac{40}{7}\)
Thay m=40/7 vào (1)=>t=6/7
Vì \(\frac{1}{x-1}=t\Rightarrow\frac{1}{x-1}=\frac{6}{7}\Rightarrow\left(x-1\right).6=7\Rightarrow6x-6=7\Rightarrow x=\frac{13}{6}\)
Vì \(\frac{1}{y-1}=m\Rightarrow\frac{1}{y-1}=\frac{40}{7}\Rightarrow\left(y-1\right).40=7\Rightarrow40y-40=7\Rightarrow y=\frac{47}{40}\)
Vậy x=13/6;y=47/40 thì thỏa mãn HPT
mk hết hè lên lp 8 nên cũng không chắc 100% nhé
b/ Đặt \(\frac{1}{x+2y}=a\) ; \(\frac{1}{x-2y}=b\) , ta có hệ phương trình: \(\hept{\begin{cases}4a-b=1\\20a+3b=1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=4a-1\\20a+3\left(4a-1\right)=1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}b=4a-1\\20a+12a-3=1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=4a-1\\a=\frac{1}{8}\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}b=-\frac{1}{2}\\a=\frac{1}{8}\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x-2y}=-\frac{1}{2}\\\frac{1}{x+2y}=\frac{1}{8}\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-2y=-2\\x+2y=8\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=-2+2y\\-2+2y+2y=8\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=-2+2y\\y=\frac{5}{2}\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=3\\y=\frac{5}{2}\end{cases}}}\)
Vậy x = 3 , y = 5/2
c/ Đặt \(\frac{1}{x-3}=a\) ; \(\frac{1}{y+2}=b\) , ta có hệ phương trình:
\(\hept{\begin{cases}12a-5b=63\\8a+15b=-13\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=\frac{12a-63}{5}\\8a+15\left(\frac{12a-63}{5}\right)=-13\end{cases}}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=\frac{12a-63}{5}\\8a+\frac{180a-945}{5}=-13\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=\frac{12a-63}{5}\\a=4\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=-3\\a=4\end{cases}}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{y+2}=-3\\\frac{1}{x-3}=4\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}-3y-6=1\\4x-12=1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=-\frac{7}{3}\\x=\frac{13}{4}\end{cases}}}\)
Vậy x = 13/4 , y = -7/3
d/ Đặt \(\frac{1}{x+y-3}=a\) ; \(\frac{1}{x-y+1}=b\) , ta có hệ phương trình:
\(\hept{\begin{cases}5a-2b=8\\3a+b=1,5\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5a-2\left(\frac{3}{2}-3a\right)=8\\b=\frac{3}{2}-3a\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}5a-3+6a=8\\b=\frac{3}{2}-3a\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}a=1\\b=-\frac{3}{2}\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+y-3}=1\\\frac{1}{x-y+1}=-\frac{3}{2}\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y-3=0\\-3x+3y-3=2\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x+y=3\\-3x+3y=5\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=3-y\\-3\left(3-y\right)+3y=5\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=3-y\\-9+3y+3y=5\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=3-y\\y=\frac{7}{3}\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=\frac{2}{3}\\y=\frac{7}{3}\end{cases}}}\)
Vậy x = 2/3 ; y = 7/3
a/ Đảo ngược lại rồi đặc \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)
b/ Dễ thấy vai trò x, y, z như nhau nên ta chỉ cần xét 1 trường hợp tiêu biểu thôi.
Xét \(x>y>z\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}< \frac{1}{y}< \frac{1}{z}\)
\(\Rightarrow x+\frac{1}{y}>z+\frac{1}{x}\)(trái giả thuyết)
\(\Rightarrow x=y=z\)'
\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}=2\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
a) Ta có : \(x+y+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}=\left(2x+\frac{2}{x}\right)+\left(2y+\frac{2}{y}\right)-\left(x+y\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có : \(2x+\frac{2}{x}\ge2\sqrt{2x.\frac{2}{x}}=4\) (1)
Tương tự : \(2y+\frac{2}{y}\ge2\sqrt{2y.\frac{2}{y}}=4\)(2) ; \(x+y\le2\Rightarrow-\left(x+y\right)\ge-2\)(3)
Cộng (1) , (2) , (3) theo vế được: \(\left(2x+\frac{2}{x}\right)+\left(2y+\frac{2}{y}\right)-\left(x+y\right)\ge4+4-2=6\)
Hay \(x+y+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}\ge6\) (đpcm)
b) Áp dụng bất đẳng thức \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) được :
\(a^8+b^8+c^8=\left(a^4\right)^2+\left(b^4\right)^2+\left(c^4\right)^2\ge\left(ab\right)^4+\left(bc\right)^4+\left(ca\right)^4\)
Tương tự : \(\left(a^2b^2\right)^2+\left(b^2c^2\right)^2+\left(c^2a^2\right)^2\ge a^2b^4c^2+b^2c^4a^2+c^2a^4b^2\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow a^8+b^8+c^8\ge a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\ge\frac{a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^3b^3c^3}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
