K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
29 tháng 9 2019

Biến đổi tương đương:

\(\Leftrightarrow4x^2+4y^2+4z^2\ge2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2zx\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

29 tháng 9 2019

A no thơ quay nhưng lại không hay:P(Another way)

\(BĐT\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) (biến đổi tương đương thôi)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\frac{1}{4}\left(x+y-2z\right)^2\ge0\) (true)

Đẳng thức xảy ra khi x =y = z

P/s: cách này làm màu thôi :D

NV
30 tháng 9 2019

Biến đổi tương đương:

\(3x^2+3y^2+3z^2\ge x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

29 tháng 9 2019

BĐT \(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)(đúng)

Đẳng thức xảy ra khi x =y=z

27 tháng 10 2018

Đáp án D

AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 1 2020

Lời giải:
Đặt $\frac{x+y}{x-y}=a; \frac{y+z}{y-z}=b; \frac{z+x}{z-x}=c$

Bằng phép biến đổi tương đương cơ bản, ta chỉ ra được:

$ab+bc+ac=-1$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=-2$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2+2\geq 2$

Ta sẽ đi chứng minh $a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}>\frac{2^{1010}{3^{1009}}$
-------------------------------------------

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm:

\(\frac{a^{2020}}{a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{3}\geq 1010\sqrt[1010]{\frac{a^{2020}}{(a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}).3^{1009}}}\)

\(\frac{b^{2020}}{a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{3}\geq 1010\sqrt[1010]{\frac{b^{2020}}{(a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}).3^{1009}}}\)

\(\frac{c^{2020}}{a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{3}\geq 1010\sqrt[1010]{\frac{c^{2020}}{(a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}).3^{1009}}}\)

Cộng theo vế và thu gọn: $a^2+b^2+c^2\leq \sqrt[1010]{(a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}).3^{1009}}$

$\Rightarrow a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^{1010}}{3^{1009}}\geq \frac{2^{1010}}{3^{1009}}$ do $a^2+b^2+c^2\geq 2$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$ và $a^2+b^2+c^2=2$. Điều này không được vì $x,y,z$ đôi một khác nhau làm $a,b,c$ đôi một khác nhau

Ta có đpcm.

15 tháng 1 2020

Akai Haruma dạ giúp em bài này vs ạ !!!

NV
21 tháng 7 2021

Cả 4 đều không đúng:

A. Sai khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;1\right)\) và nhiều trường hợp khác 

A. Sai khi \(\left(a;b\right)=\left(1;1\right)\) và nhiều trường hợp khác

C. Sai khi \(\left(x;y\right)=\left(-1;-1\right)\) và nhiều trường hợp khác

D. Sai khi \(\left(x;y;z\right)=\left(-1;-1;1\right)\) và nhiều trường hợp khác

5 tháng 2 2022

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2\ge3\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{xyz}\Rightarrow x+y+z\ge\dfrac{3}{xyz}\)

\(x+y+z=\dfrac{x+y+z}{3}+\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{3}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{xyz}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{9}{x+y+z}\right)+\dfrac{2}{xyz}=\dfrac{3}{x+y+z}+\dfrac{2}{xyz}\left(đpcm\right)\)

\(dấu"="xảy\) \(ra\Leftrightarrow x=y=z=1\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 5 2018

Lời giải:

Ta có:

\(3=xy+yz+xz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}\Rightarrow x+y+z\geq 3\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)\leq \left(\frac{x+2+x^2-2x+4}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{x^3+8}\leq \frac{x^2-x+6}{2}\Rightarrow \frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}\geq \frac{2x^2}{x^2-x+6}\)

Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

\(\Rightarrow \text{VT}\geq \underbrace{2\left(\frac{x^2}{x^2-x+6}+\frac{y^2}{y^2-y+6}+\frac{z^2}{z^2-z+6}\right)}_{M}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(M\geq \frac{2(x+y+z)^2}{x^2-x+6+y^2-y+6+z^2-z+6}=\frac{2(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2-(x+y+z)+18}\)

\(\Leftrightarrow M\geq \frac{2(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2-(x+y+z)+12}\) (do $xy+yz+xz=3$)

Mà :

\(\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2-(x+y+z)+12}-1=\frac{(x+y+z)^2+(x+y+z)-12}{(x+y+z)^2-(x+y+z)+12}=\frac{(x+y+z-3)(x+y+z+4)}{(x+y+z)^2-(x+y+z)+12}\geq 0\) do $x+y+z\geq 0$

Do đó: \(M\geq 1\Rightarrow \text{VT}\geq 1\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)