K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DP
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 5 2019
Bài này áp dụng lý thuyết đồ thị parabol lớp 10 thì khá đơn giản, chỉ việc tính delta và chứng minh nó \(\le0\) là xong, lớp 9 cứ biến đổi tương đương, đỡ phải tìm BĐT đau đầu:
Dấu "=" có xảy ra tại \(x=y=0\) cho nên BPT đúng phải là:
\(x^2y^4+2y^2\left(x^2+2\right)+x^2+4xy\ge4xy^3\)
\(\Leftrightarrow\left(y^4+2y^2+1\right)x^2-4y\left(y^2-1\right)x+4y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y^2+1\right)^2x^2-4y\left(y^2-1\right)x+4y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y^2+1\right)^2\left[x^2-\frac{4y\left(y^2-1\right)}{\left(y^2+1\right)^2}x+\frac{4y^2\left(y^2-1\right)^2}{\left(y^2+1\right)^2}\right]+4y^2-\frac{4y^2\left(y^2-1\right)^2}{\left(y^2+1\right)^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y^2+1\right)^2\left[x-\frac{2y\left(y^2-1\right)}{y^2+1}\right]^2+\frac{16y^4}{\left(y^2+1\right)^2}\ge0\) (luôn đúng)
DA
0
NT
1
HL
14 tháng 7 2017
Sai đề sửa + làm luôn
Biến đổi VT ta có:
VT= \(\left(\dfrac{x^2-3xy}{x+y}+y\right):\left(\dfrac{x}{x+y}-\dfrac{y}{y-x}-\dfrac{2xy}{x^2-y^2}\right)\)
= \(\left(\dfrac{x^2-3xy+xy+y^2}{x+y}\right):\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{x-y}-\dfrac{2xy}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\right)\)
= \(\left(\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x+y}\right):\left(\dfrac{x^2-xy+xy+y^2-2xy}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\right)\)
= \(\dfrac{\left(x-y\right)^2}{x+y}:\left(\dfrac{\left(x-y\right)^2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\right)\)
= \(\dfrac{\left(x-y\right)^2}{x+y}.\dfrac{x+y}{x-y}\) = x - y = VP
Vậy...
8 tháng 1 2017
\(\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)+4xy+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)\(\)
\(=1+y^2+x^2+x^2y^2+4xy+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)
\(=x^2+2xy+y^2+x^2y^2+2xy+1+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)
\(=\left(x+y\right)^2+\left(xy+1\right)^2+2\left(x+y\right)\left(xy+1\right)\)
\(=\left(x+y+xy+1\right)^2\)
DC
1
24 tháng 7 2019
Ta có:\(x^2-4xy+6y^2+2x+4\)
\(=\left(x-2y\right)^2+\left(x+x+\frac{8}{x^2}\right)+\left(2y^2+\frac{2}{y^2}\right)\)
\(\ge0+6+4=10\)
\(\Rightarrow x^2-4xy+6y^2+2x\ge10-4=6\)
Dấu bằng xảy ra khi x=2 và y=1.
N
30 tháng 9 2017
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(VT=\sum\dfrac{\sqrt{\left(x+y\right)^2-xy}}{4yz+1}\ge\sum\dfrac{\sqrt{\left(x+y\right)^2-\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2}}{\left(y+z\right)^2+1}=\sum\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)}{\left(y+z\right)^2+1}\)
Set \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=a\\y+z=b\\z+x=c\end{matrix}\right.\)thì giả thiết trở thành \(a+b+c=3\) và cần chứng minh \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\sum\dfrac{a}{b^2+1}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\)
\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{a}{b^2+1}\ge\dfrac{3}{2}\)( đến đây quen thuộc rồi)
Ta có:\(\sum\dfrac{a}{b^2+1}=\sum a-\sum\dfrac{ab^2}{b^2+1}\ge3-\sum\dfrac{ab^2}{2b}\)(AM-GM)
\(VT\ge3-\sum\dfrac{ab}{2}\ge3-\dfrac{\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}{2}=\dfrac{3}{2}\)( AM-GM)
Vậy ta có đpcm.Dấu = xảy ra khi a=b=c=1 hay \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)
LD
0
Ta có: \(\left(x-y\right)^2+4xy=x^2-2xy+y^2+4xy=x^2+2xy+y^2=\left(x+y\right)^2\)