Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Có 4 số a,b,c,d và 3 số dư có thể xảy ra khi chia một số cho 3 là 0,1,2
Do đó áp dụng nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất [\(\frac{4}{3}\)]+1=2số có cùng số dư khi chia cho 3
Không mất tổng quát giả sử đó là a,b⇒a−b⋮3
⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮3
Mặt khác
Trong 4 số a,b,c,da,b,c,d
Giả sử tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 4 là a,b
⇒a−b⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)\(⋮\)4
Nếu a,b,c,d không có số nào có cùng số dư khi chia cho 4. Khi đó giả sử a,b,c,d có số dư khi chia cho 4 lần lượt là 0,1,2,3
⇒c−a⋮2; d−b⋮2
⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4
Như vậy, tích đã cho vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4. Do đó nó cũng chia hết cho 12
Ta có đpcm,
Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=m\Rightarrow a=bm;c=dm\)
Ta có : \(\dfrac{a.b}{c.d}=\dfrac{b.m.b}{d.m.d}=\dfrac{b^2.m}{d^2.m}=\dfrac{b^2}{d^2}\)(1)
\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}=\dfrac{\left(bm+b\right)^2}{\left(dm+d\right)^2}=\dfrac{\left[b.\left(m+1\right)\right]^2}{\left[d.\left(m+1\right)\right]^2}=\dfrac{b^2.\left(m+1\right)^2}{d^2.\left(m+1\right)^2}=\dfrac{b^2}{d^2}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra :\(\dfrac{a.b}{c.d}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\)
Vậy \(\dfrac{a.b}{c.d}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\) khi \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
Đc chưa bạn . Tick cho mk nha!
\(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(c-d\right)=\left(c+d\right)\left(a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow ac+bc-ad-db=ac-bc+ad-db\)
\(\Leftrightarrow ac-ac+bc+bc=ad+ad+db-db\)
\(\Leftrightarrow2bc=2ad\Leftrightarrow bc=ad\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)(đfcm)
Vì a+b/a-b=c+d/c-d => a+b/c+d=a-b/c-d
Dựa vào tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a+b/c+d=a-b/c-d=a+b+(a-b)/c+d+(c-d)=a+b+a-b/c+d+c-d=2a/2c=a/c (1)
a+b/c+d=a-b/c-d=a+b-(a-b)/c+d-(c-d)=a+b-a+b/c+d-c+d=2b/2d=b/d (2)
Từ (1),(2)suy ra: a/c=b/d
Trong 4 số \(a,b,c,d\) có ít nhất 2 số cùng số dư khi chia cho 3.
Trong 4 số \(a,b,c,d\) nếu có 2 số cùng số dư khi chia cho 4 thì hiệu hai số đó sẽ \(⋮4.\)
Nếu không thì 4 số dư theo thứ tự \(0,1,2,3.\)
\(\Leftrightarrow\) Trong 4 số \(a,b,c,d\) có 2 số chẵn, 2 số lẻ.
Hiệu của 2 số chẵn và 2 số lẻ trong 4 số đó \(⋮2.\)
\(\Rightarrow\) Tích trên chia hết cho 3 và 4.
Mà \(ƯCLN\left(3;4\right)=1.\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right).\left(a-c\right).\left(b-c\right).\left(b-d\right).\left(c-d\right)⋮\left(3.4\right)=12.\)
Vậy \(\left(a-b\right).\left(a-c\right).\left(b-c\right).\left(b-d\right).\left(c-d\right)⋮12.\)
Chúc bạn học tốt!
Đặt S=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)
Trong 4 số nguyên a,b,c,d chắc chắn có 2 số chia hết cho 3 có cùng số dư =>hiệu của chúng chia hết cho 3
Nên S chia hết cho 3 (1)
Ta lại có trong 4 số nguyên a,b,c,d hoac có 2 số chẵn,2 số lẻ,chẳng hạn a,b là số chẵn và c,d là số lẻ,thế thì a-b và c-d chia hết cho 2 nên (a-b)(c-d) chia hết cho 4=> s chia hết cho 4
Hoặc nếu ko phải như trên thì trong 4 số trên tồn tại 2 số chia 4 có cùng số dư nên hiệu của chúng chia hết cho 4=>S chia hết cho 4 (2)
Từ (1) và (2) ta có S chia hết cho 3 và S chia hết cho 4 mà (3;4)=1 nên S chia hết cho 12(đpcm)