Question

[Nguyễn Hoàng Danh]

Chứng minh rằng (\(3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\))\(⋮22\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
Gọi biểu thức trên là $A$
Dễ thấy:

$3^{2^{4n+1}}$ lẻ, $2^{3^{4n+1}}$ chẵn, $5$ lẻ với mọi $n$ tự nhiên 

Do đó $A$ chẵn hay $A\vdots 2(*)$

Mặt khác:

$2^4\equiv 1\pmod 5\Rightarrow 2^{4n+1}\equiv 2\pmod 5$

$\Rightarrow 2^{4n+1}=5k+2$ với $k$ tự nhiên 

$\Rightarrow 3^{2^{4n+1}}=3^{5k+2}=9.(3^5)^k\equiv 9.1^k\equiv 9\pmod {11}$

Và:

$3^4\equiv 1\pmod {10}\Rightarrow 3^{4n+1}\equiv 3\pmod {10}$

do đó $3^{4n+1}=10t+3$ với $t$ tự nhiên 

$\Rightarrow 2^{3^{4n+1}}=2^{10t+3}=8.(2^{10})^t\equiv 8.1^t\equiv 8\pmod{11}$

Do đó: 

$A\equiv 9+8+5=22\equiv 0\pmod {11}$
Vậy $A\vdots 11(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow A\vdots 22$ (do $(2,11)=1$)