Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dấu "=" xảy ra khi x=y=2; ta có : \(\sqrt[3]{8^x.8^x}=\sqrt[3]{64^x}=4^x\)
\(8^x+8^x+8^2\ge3\sqrt[3]{8^x.8^x.8^2}=12.4^x\)
\(8^y+8^y+8^2\ge12.4^y\)
\(8^z+8^z+8^2\ge12.4^z\)
Cộng 3 vế BĐT trên => đpcm
Cách làm của bạn đúng nhưng cộng 3 vế của BĐT bạn chưa thể suy ra ĐPCM được.
Cộng 3 vế:
$\Rightarrow 2(8^x+8^y+8^z)+3.8^2\geq 3(4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1})(1)$
Mà theo BĐT AM-GM:
$8^x+8^y+8^z\geq 3\sqrt[3]{8^{x}.8^y.8^z}=3\sqrt[3]{8^{x+y+z}}=3.8^2(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow 3(8^x+8^y+8^z)\geq 2(8^x+8^y+8^z)+3.8^2\geq 3(4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1})$
$\Rightarrow 8^x+8^y+8^z\geq 4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}$
(đpcm)
\(\left(3^x;3^y;3^z\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a;b;c>0\\ab+bc+ca=abc\end{matrix}\right.\)
BĐT cần chứng minh trở thành:
\(\dfrac{a^2}{a+bc}+\dfrac{b^2}{b+ca}+\dfrac{c^2}{c+ab}\ge\dfrac{a+b+c}{4}\)
Thật vậy, ta có:
\(VT=\dfrac{a^3}{a^2+abc}+\dfrac{b^3}{b^2+abc}+\dfrac{c^3}{c^2+abc}\)
\(VT=\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
Áp dụng AM-GM:
\(\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge\dfrac{3a}{4}\)
Làm tương tự với 2 số hạng còn lại, cộng vế với vế rồi rút gọn, ta sẽ có đpcm
Lời giải:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\((x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{9}{x+y+z}\right)\geq (x+y+z)\left(\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x}\right)\)
\(\Leftrightarrow 12+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\geq 12+\frac{4x}{y+z}+\frac{4y}{x+z}+\frac{4z}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow (\frac{y}{x}+\frac{y}{z}-\frac{4y}{x+z})+(\frac{z}{x}+\frac{z}{y}-\frac{4z}{x+y})+(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}-\frac{4x}{y+z})\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{y(x-z)^2}{xz(x+z)}+\frac{z(x-y)^2}{xy(x+y)}+\frac{x(y-z)^2}{yz(y+z)}\geq 0\)
(luôn đúng với mọi $x,y,z>0$)
Do đó ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$
\(\frac{x^5}{y^4}+\frac{x^5}{y^4}+y+y+y\ge5\sqrt[5]{\frac{x^{10}y^3}{y^8}}=\frac{5x^2}{y}\)
Tương tự: \(\frac{2y^5}{z^4}+3z\ge\frac{5y^2}{z}\) ; \(\frac{2z^5}{x^4}+3x\ge\frac{5z^2}{x}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{x^5}{y^4}+\frac{y^5}{z^4}+\frac{z^5}{x^4}\right)+3\left(x+y+z\right)\ge5\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\right)\ge5\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{x^5}{y^4}+\frac{y^5}{z^4}+\frac{z^5}{x^4}\right)\ge2\left(x+y+z\right)\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{x^5}{y^4}+\frac{y^5}{z^4}+\frac{z^5}{x^4}\ge1\)
Dấu "=" xay ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}=\frac{x^2}{x^6}+\frac{1}{y^4}\ge\frac{\left(x+1\right)^2}{x^6+y^4}\ge\frac{4x}{x^6+y^4}\)
tương tự
\(\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\ge\frac{4y}{y^6+z^4}\);
\(\frac{1}{z^4}+\frac{1}{x^4}\ge\frac{4z}{z^6+x^4}\);
cộng vế với vế => đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow\frac{xy+xz+yz}{xyz}=0\Leftrightarrow xy+xz+yz=0\) (1)
\(x+y+z=0\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+xz+yz\right)=0\) (2)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=0\) (thay (1) vào (2) ta được)
Mà điều này xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=0\) trái với giả thiết \(x;y;z\ne0\)
\(\Rightarrow\) Đề bài sai
Sửa đề:
Chứng minh rằng:
\(8x+8y+8z\le4^{x+1}+4^{y+1}+4^{y+2}\)
Ta có:
\(8x+8y+8z=8.\left(x+y+z\right)=8.6=48\)(1)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
\(4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\ge3\sqrt[3]{4^{x+1}.4^{y+1}.4^{z+1}}\)
\(\Rightarrow4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\ge3\sqrt[3]{4^{x+y+z+3}}\)
\(\Rightarrow4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\ge3\sqrt[3]{4^{6+3}}\)
\(\Rightarrow4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\ge3\sqrt[3]{4^9}\)
\(\Rightarrow4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\ge3.64\)
\(\Rightarrow4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\ge192\)(2)
Dấu "=" sảy ra khi \(x=y=z=2\).
Từ (1) và (2) suy ra:
\(8x+8y+8z\le4^{x+1}+4^{y+1}+4^{y+2}\)(đpcm)
Chúc bạn học tốt!!!
Đề gốc:\(8^x+8^y+8^z\ge4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\)