K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

20 tháng 7 2017

Chứng minh 1/(1+x)^2 + 1/(1+y)^2 luôn >= 1/(1+xy)? | Yahoo Hỏi & Đáp

Nhấn vào link đó!

8 tháng 5 2017

Ôn tập cuối năm phần số học

8 tháng 5 2017

Ta có: \(x\ge1;y\ge1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(y-1\right)\ge0\\y\left(x-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy\ge x^2\\xy\ge y^2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+xy\ge1+x^2\\1+xy\ge1+y^2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{1+x^2}\ge\dfrac{1}{1+xy}\left(1\right)\\\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{1}{1+xy}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Cộng vế với vế (1) và (2) ta được : {cái bđt ở đầu bài chép xuống đây}

15 tháng 4 2018

\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)

\(\left(\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)+\left(\dfrac{1}{1+y^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)\ge0\)

\(\left(\dfrac{1+xy-\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\right)+\left(\dfrac{1+xy-\left(1+y^2\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\right)\ge0\)

\(\left(\dfrac{1+xy-1-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\right)+\left(\dfrac{1+xy-1-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\right)\ge0\)

\(\dfrac{-x\left(x-y\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{-y\left(y-x\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\dfrac{-x\left(x-y\right)\left(1+y^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

=> -x(x-y)(1+y2)+y(x-y)(1+x2) ≥ 0

⇔ (x-y)[-x(1+y2)+y(1+x2)]≥0

⇔ (x-y)(-x-xy2+y+x2y) ≥0

⇔ (x-y)[-(x-y)+(x2y-y2x)] ≥ 0

⇔ (x-y)[-(x-y)+xy(x-y) ]≥ 0

⇔ (x-y)(x-y)(xy-1)≥ 0

⇔ (x-y)2 (xy-1) ≥0 (luôn đúng ∀ xy ≥ 1)

=> đpcm

22 tháng 3 2019

bạn pải giả sử trước chứ nếu ntn thì người chấm hỏi ai cho lôi phần chứng minh ra làm phần mục đề

16 tháng 10 2017

z đâu ra??? hum

16 tháng 10 2017

3 tháng 8 2017

\(\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{y^2+1}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+y^2}-\dfrac{1}{1+xy}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1+xy-1-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{1+xy-1-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x\left(y-x\right)\left(1+y^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x\left(y-x\right)\left(1+y^2\right)+y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\forall x,y>1\)

9 tháng 5 2018

\(H=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+xz}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{3+xy+yz+xz}=\dfrac{9}{3+xy+yz+xz}\)

Mặt khác,theo AM-GM: \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2=3\)

\(\Rightarrow\dfrac{9}{3+xy+yz+xz}\ge\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" khi: \(x=y=z=1\)

19 tháng 12 2020

Sửa đề: \(\dfrac{2}{xy}:\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\right)^2:\dfrac{x^2+y^2}{\left(x-y\right)^2}=\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\)

Ta có: \(\dfrac{2}{xy}:\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\right)^2:\dfrac{x^2+y^2}{\left(x-y\right)^2}\)

\(=\dfrac{2}{xy}:\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{2}{xy}\right):\dfrac{x^2+y^2}{\left(x-y\right)^2}\)

\(=\dfrac{2}{xy}:\left(\dfrac{x^2+y^2}{x^2y^2}-\dfrac{2xy}{x^2y^2}\right):\dfrac{x^2+y^2}{\left(x-y\right)^2}\)

\(=\dfrac{2}{xy}:\dfrac{x^2-2xy+y^2}{\left(xy\right)^2}:\dfrac{x^2+y^2}{\left(x-y\right)^2}\)

\(=\dfrac{2}{xy}\cdot\dfrac{\left(xy\right)^2}{\left(x-y\right)^2}:\dfrac{x^2+y^2}{\left(x-y\right)^2}\)

\(=\dfrac{2xy}{\left(x-y\right)^2}:\dfrac{x^2+y^2}{\left(x-y\right)^2}\)

\(=\dfrac{2xy}{\left(x-y\right)^2}\cdot\dfrac{\left(x-y\right)^2}{x^2+y^2}\)

\(=\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\)

19 tháng 12 2020

Thật đấy ạ, nãy giờ ngồi nháp mãi vẫn không hiểu sao đề bắt chứng minh nó bằng 1 được:(

19 tháng 8 2017

b) \(x,y\ge1\Rightarrow xy\ge1\)

BĐT đã cho tương đương với:

\(\left(\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)+\left(\dfrac{1}{1+y^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{xy-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{xy-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow+\dfrac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{y\left(x-y\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

BĐT cuối luôn đúng nên ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi x=y hoặc xy=1

14 tháng 6 2017

\(M=\dfrac{yz\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)

\(=\dfrac{yz\sqrt{x-1}}{xyz}+\dfrac{xz\sqrt{y-2}}{xyz}+\dfrac{xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}+\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\sqrt{x-1}\le\dfrac{1+x-1}{2}=\dfrac{x}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}\le\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}\)

\(\sqrt{y-2}=\dfrac{\sqrt{2\left(y-2\right)}}{\sqrt{2}}\le\dfrac{y}{2\sqrt{2}}\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}\le\dfrac{y}{2\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)

\(\sqrt{z-3}=\dfrac{\sqrt{3\left(z-3\right)}}{\sqrt{3}}\le\dfrac{z}{2\sqrt{3}}\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\le\dfrac{z}{2\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(M\le\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\) (ĐPCM)