Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
https://hoc24.vn/cau-hoi/voi-0-xy-dfrac12-chung-minhdfracsqrtxy1dfracsqrtyx1-dfrac2sqrt23.461470553384
\(M=\dfrac{yz\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)
\(=\dfrac{yz\sqrt{x-1}}{xyz}+\dfrac{xz\sqrt{y-2}}{xyz}+\dfrac{xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}+\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{x-1}\le\dfrac{1+x-1}{2}=\dfrac{x}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}\le\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}\)
\(\sqrt{y-2}=\dfrac{\sqrt{2\left(y-2\right)}}{\sqrt{2}}\le\dfrac{y}{2\sqrt{2}}\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}\le\dfrac{y}{2\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(\sqrt{z-3}=\dfrac{\sqrt{3\left(z-3\right)}}{\sqrt{3}}\le\dfrac{z}{2\sqrt{3}}\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\le\dfrac{z}{2\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(M\le\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\) (ĐPCM)
Bổ sung giả thuyết x ,y \(\ge0\)
Do giả thiết x ,y \(\ge0\)
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}\) =1
nên:
xy (x+y )\(^2\)\(\le\) \(\dfrac{1}{64}\)
<=> 64 xy (x + y )\(^2\) \(\le\)1
<=> 64 xy ( x + y)\(^2\)\(\le\)(\(\sqrt{x}+\sqrt{y}\))\(^8\)
<=> 64 xy ( x + y )\(^2\) < \((x+2\sqrt{xy}+y)^4\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm x + y và \(2\sqrt{xy}\)
ta có ;
x + y + 2\(\sqrt{xy}\) \(\ge\) \(2\sqrt{x+y}2\sqrt{xy}\)
=> ( x + y +2\(\sqrt{xy}\)) \(^4\)\(\ge\) (\(2\sqrt{x+y}2\sqrt{xy}\) )\(^4\)= 64 xy (x + y)\(^2\)
=> ĐIỀU PHẢI CHỨNG MINH
Dấu bằng xảy ra <=> x + y = \(2\sqrt{xy}\)
<=> x = y = \(\dfrac{1}{4}\)
Câu hỏi của Liên Mỹ - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(A^2=(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1})^2=(\sqrt{x}\sqrt{xy-x}+\sqrt{y}\sqrt{xy-y})^2\)
\(\leq (x+y)(xy-x+xy-y)=(x+y)(2xy-x-y)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((x+y)(2xy-x-y)\leq \left (\frac{x+y+2xy-x-y}{2}\right)^2=(xy)^2\)
Do đó, \(A^2\leq (xy)^2\Leftrightarrow A\leq xy\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=2\)
Ta có :
\(M=\frac{yz\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)
\(\Rightarrow M=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{z-3}}{z}\)
\(\Rightarrow M=\frac{2\sqrt{x-1}}{2x}+\frac{2\sqrt{y-2}.\sqrt{2}}{2y.\sqrt{2}}+\frac{2\sqrt{z-3}.\sqrt{3}}{2z.\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow M\le\frac{x-1+1}{2x}+\frac{y-2+2}{2y.\sqrt{2}}+\frac{z-3+3}{2z.\sqrt{3}}\)( Áp dụng BĐT \(2xy\le x^2+y^2\))
\(\Rightarrow M\le\frac{x}{2x}+\frac{y}{2y.\sqrt{2}}+\frac{z}{2z.\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow M\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2.\sqrt{2}}+\frac{1}{2.\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
Đề phải cho \(x,y\) dương nữa!
Giải:
Ta có: \(xy\left(x+y\right)^2\le\dfrac{1}{64}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy\left(x+y\right)^2}\le\sqrt{\dfrac{1}{64}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\dfrac{1}{8}\)
Vậy ta cần chứng minh BĐT tương đương \(\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\dfrac{1}{8}\)
Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\sqrt{xy}\left(x+y\right)=\dfrac{1}{2}.2\sqrt{xy}\left(x+y\right)\)
\(\le\dfrac{1}{2}.\dfrac{x+y+2\sqrt{xy}}{4}=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^4}{8}\) \(=\dfrac{1}{8}\)
\(\Rightarrow xy\left(x+y\right)^2\le\dfrac{1}{64}\) (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{4}\)
cho mình hỏi \(\dfrac{1}{2}\) ở đâu vậy bạn