K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 8 2017

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(A^2=(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1})^2=(\sqrt{x}\sqrt{xy-x}+\sqrt{y}\sqrt{xy-y})^2\)

\(\leq (x+y)(xy-x+xy-y)=(x+y)(2xy-x-y)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\((x+y)(2xy-x-y)\leq \left (\frac{x+y+2xy-x-y}{2}\right)^2=(xy)^2\)

Do đó, \(A^2\leq (xy)^2\Leftrightarrow A\leq xy\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=2\)

16 tháng 8 2017

Câu hỏi của Liên Mỹ - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

6 tháng 10 2019

BĐT \(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-1}}{y}\le1\)

Ta có: \(VT\le\frac{1+x-1}{2x}+\frac{1+y-1}{2y}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)(đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1

19 tháng 3 2016

mk mới học lớp 7 thôi mà

11 tháng 8 2017

Đặt \(A=\frac{xy\sqrt{z-1}+xz\sqrt{y-2}+yz\sqrt{x-3}}{xyz}\)

\(\Rightarrow A=\frac{\sqrt{z-1}}{z}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{x-3}}{x}\)

\(\Rightarrow A=\frac{2.\sqrt{z-1}}{2z}+\frac{2.\sqrt{2}.\sqrt{y-2}}{2.\sqrt{2}.y}+\frac{2.\sqrt{3}.\sqrt{x-3}}{2.\sqrt{3}.x}\)\

\(\Rightarrow A\le\frac{z-1+1}{2z}+\frac{y-2+2}{2\sqrt{2}.y}+\frac{z-3+3}{2\sqrt{3}.x}\) ( ÁP DỤNG BĐT CÔ-SI )

\(\Rightarrow A\le\frac{z}{2z}+\frac{y}{2\sqrt{2}.y}+\frac{z}{2\sqrt{3}.z}\)

\(\Rightarrow A\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{6}\)

24 tháng 11 2019

Nhẩm điểm rơi rồi xơi:)

\(\sqrt{1.x}+\sqrt{1\left(y-1\right)}+\sqrt{1\left(z-2\right)}\)]

\(\le\frac{x+1}{2}+\frac{1+y-1}{2}+\frac{1+z-2}{2}=\frac{x+y+z}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = 1; y = 2; z = 3

8 tháng 5 2017

Ôn tập cuối năm phần số học

8 tháng 5 2017

Ta có: \(x\ge1;y\ge1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(y-1\right)\ge0\\y\left(x-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy\ge x^2\\xy\ge y^2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+xy\ge1+x^2\\1+xy\ge1+y^2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{1+x^2}\ge\dfrac{1}{1+xy}\left(1\right)\\\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{1}{1+xy}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Cộng vế với vế (1) và (2) ta được : {cái bđt ở đầu bài chép xuống đây}

20 tháng 5 2017

Đề phải cho \(x,y\) dương nữa!

Giải:

Ta có: \(xy\left(x+y\right)^2\le\dfrac{1}{64}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{xy\left(x+y\right)^2}\le\sqrt{\dfrac{1}{64}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\dfrac{1}{8}\)

Vậy ta cần chứng minh BĐT tương đương \(\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\dfrac{1}{8}\)

Áp dụng BĐT AM - GM ta có:

\(\sqrt{xy}\left(x+y\right)=\dfrac{1}{2}.2\sqrt{xy}\left(x+y\right)\)

\(\le\dfrac{1}{2}.\dfrac{x+y+2\sqrt{xy}}{4}=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^4}{8}\) \(=\dfrac{1}{8}\)

\(\Rightarrow xy\left(x+y\right)^2\le\dfrac{1}{64}\) (Đpcm)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{4}\)

1 tháng 6 2018

cho mình hỏi \(\dfrac{1}{2}\) ở đâu vậy bạn

Ta có: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\right)+\left(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{xy}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{xy-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{xy-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow x\left(y-x\right)\left(1+y^2\right)+y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(x+xy^2-y-x^2y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)\ge0\)(đúng với mọi x,y>=1)