TK
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NH
31 tháng 8 2020
\(\text{Ta có:}\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^2+x+y^2+y}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y\right)^2-2xy+1}{xy+x+y+1}=\frac{1-2xy+1}{xy+2}\)
\(=\frac{2-2xy}{2+xy}\)
\(\text{Vì }2-2xy\le2+xy\left(do\text{ x,y không âm}\right)\text{ nên }\frac{2-2xy}{2+xy}\le1\)
\(=>\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}\le1\)
12 tháng 12 2015
x,y,z không âm thỏa mãn
\(1\ge\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\ge\frac{9}{x+y+z+6}\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)
\(P=\frac{a+b+c}{9}+\frac{1}{a+b+c}+\frac{8\left(a+b+c\right)}{9}\ge2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{8.3}{9}=\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)
P min = 10/3 khi a+b+c = 3
31 tháng 10 2018
Ta có: \(x+\left(y+1\right)\ge2.\sqrt{x.\left(y+1\right)}=2.\sqrt{xy+x}\)
\(y+\left(x+1\right)\ge2.\sqrt{y.\left(x+1\right)}=2.\sqrt{xy+y}\)
\(1+\left(x+y\right)\ge2.\sqrt{x+y}\)
Ta có: \(\sqrt{\frac{x}{y+1}}+\sqrt{\frac{y}{x+1}}+\sqrt{\frac{1}{x+y}}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y+1}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+y}}\)
\(=\frac{x}{\sqrt{yx+x}}+\frac{y}{\sqrt{xy+y}}+\frac{1}{\sqrt{x+y}}\)
\(=\frac{2x}{2\sqrt{yx+x}}+\frac{2y}{2\sqrt{xy+y}}+\frac{2}{2\sqrt{x+y}}\)
\(\ge\frac{2x}{x+y+1}+\frac{2y}{x+y+1}+\frac{21}{x+y+1}=\frac{2\left(x+y+1\right)}{x+y+1}=2\)
đpcm
Tham khảo nhé~
KT
25 tháng 2 2020
\(1=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{y}\right)\)
\(\ge\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}}+\sqrt{\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}+\sqrt{\frac{z}{x}.\frac{x}{y}}=VP\) (rút gọn lại thôi:v)
5 tháng 8 2017
Theo AM-GM , có :
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)
Nhân vế theo vế :
\( \left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Có:x+y =1 => (x+y)2 = 1 => x2 + y2 = 1-2xy
\(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x\left(x+1\right)+y\left(y+1\right)}{\left(y+1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x^2+x+y^2+y}{yx+y+x+1}=\frac{1-2xy+1}{yx+2}\)\(=\frac{2-2xy}{2+yx}\)
Vì x,y không âm
=> \(-xy\le xy\)
=> \(-2xy\le xy\)
=>\(2-2xy\le2+xy\)
=> \(\frac{2-2xy}{2+xy}\le1\)
=> đpcm