HP
4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
QL
2
10 tháng 5 2019
Áp dụng côsi cho 3 số ta có
\(2xy+2xy+\left(x^2+y^2\right)\ge3\sqrt[3]{4x^2y^2\left(x^2+y^2\right)}\)
=> \(4+2xy\ge3\sqrt[3]{4x^2y^2\left(x^2+y^2\right)}\)
Mà \(2xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=2\)
=> \(3\sqrt[3]{4x^2y^2\left(x^2+y^2\right)}\le6\)
=> \(x^2y^2\left(x^2+y^2\right)\le2\)( Điều phải chứng minh)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=1
10 tháng 5 2019
Cách khác nè
\(x^2y^2\left(x^2+y^2\right)=\frac{1}{2}xy.\left(x^2+y^2\right)2xy\le\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y\right)^2}{4}.\frac{\left(x+y\right)^4}{4}=\frac{1}{2}.\frac{4}{4}.\frac{16}{4}=2\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=2\end{cases}\Leftrightarrow x=y=1}\)
:))
23 tháng 3 2022
\(\left(x+\frac{2}{x}\right)^2+\left(y+\frac{2}{y}\right)^2=x^2+y^2+\frac{4}{x^2}+\frac{4}{y^2}+4+4\)
\(=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(y^2+\frac{1}{y^2}\right)+\left(\frac{3}{x^2}+3x+3x\right)+\left(\frac{3}{y^2}+3y+3y\right)-6\left(x+y\right)+8\)
\(\ge2+2+9+9-6.2+8=18\)
BC
1
10 tháng 3 2021
Đặt xy = a.
Ta có \(xy.\left(x^2+y^2\right)=xy.\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]=t\left(4-2t\right)=4t-2t^2=2-2\left(t-1\right)^2\le2\).
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1.
TT
1
24 tháng 4 2019
Ta có : xy \(\le\)\(\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)hay xy \(\le\)1 ( 1 ) . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y = 1
\(2xy\left(x^2+y^2\right)\le\frac{\left(2xy+x^2+y^2\right)^2}{4}=\frac{\left(x+y\right)^4}{4}=4\)( 2 )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y = 1
Nhân ( 1 ) với ( 2 ) ta được : \(2x^2y^2\left(x^2+y^2\right)\le4\)\(\Rightarrow\)\(x^2y^2\left(x^2+y^2\right)\le2\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y = 1
24 tháng 7 2019
Ta có: \(x+y=2\Rightarrow x^2+2xy+y^2=4\Rightarrow x^2+y^2=4-2xy\)
Mặt khác: \(\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\ge xy\)
\(\Rightarrow1\ge xy\) (thay x+y=2) và \(2\ge2xy\)
Ta có: \(xy\left(x^2+y^2\right)=xy\left(4-2xy\right)\)
=>.....
16 tháng 4 2019
a) \(\text{ }x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4-x^3y-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)(ĐPCM)
*NOTE: chứng minh đc vì (x-y)^2 >= 0 ; x^2 +xy +y^2 > 0
S1
16 tháng 4 2019
mình cũng làm đến nơi rồi nhưng sợ x^2+xy+y^2 chưa chắc lớn hơn 0 thanks bạn nhé
TH
30 tháng 7 2017
\(x+y+z=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-\left(y+z\right)\\y=-\left(z+x\right)\\z=-\left(x+y\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow P=\frac{x^2+y^2+z^2}{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}=\frac{\left[-\left(y+z\right)\right]^2+\left[-\left(z+x\right)\right]^2+\left[-\left(x+y\right)\right]^2}{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}=\frac{\left(y+z\right)^2+\left(z+x\right)^2\left(x+y\right)^2}{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}=\frac{-\left[\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2+\left(x-y\right)^2\right]}{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}=-1\)
HV
24 tháng 11 2017
a)
Có \(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=-2\left(xy+yz+xz\right)\) (1)
Phân tích :
\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\)
\(=x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2xz+x^2\)
\(=2\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left[-2\left(xy+yz+xz\right)\right]\)(Áp dung (1)ta được :)
\(=2\left(x^2+y^2+z^2\right)+x^2+y^2+z^2\)
\(=3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{1}{3}\)
Xét VT = 1/ab + 1/(a² + b²) = 1/2ab + 1/(a² + b²) + 1/2ab
Áp dụng bđt: 1/x + 1/y ≥ 4/(x + y) với x, y >0 và với a + b = 1
ta có: 1/2ab + 1/(a² + b²) ≥ 4/(2ab + a² + b²) = 4/(a + b)² = 4
Áp dụng bđt 4xy ≤ (x + y)²
ta có: 1/2ab = 2/4ab ≥ 2/(a + b)² = 2 => VT ≥ 4 + 2 = 6
Dấu "=" xảy ra khi a = b và a + b = 1 nên a = b = ½
Nhók Silver Bullet: đúng là "bản sao" của VICTOR_Nobita Kun