Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\)
\(\Rightarrow4\left(x+y\right)^2\ge\left(x^2+y^2\right)^4\) \(\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) \(\Rightarrow8\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^4\)
\(\Rightarrow8\ge\left(x^2+y^2\right)^3\)
\(\Rightarrow2\ge x^2+y^2\)hay \(x^2+y^2\le2\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương ta có
, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Tương tự, . Cộng theo vế hai bất đẳng thức nhận được ta có
Sử dụng giả thiết suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(y+2\ge\left(2-x\right)\left(2-z\right)\left(2-y\right)\).
Theo bất đẳng thức AM - GM: \(\left(2-x\right)\left(2-z\right)\le\dfrac{\left(4-x-z\right)^2}{4}=\dfrac{\left(2-y\right)^2}{4}\).
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
\(y+2\ge\dfrac{\left(2-y\right)^3}{4}\).
Mặt khác, bđt trên tương đương: \(\dfrac{y\left[\left(y-3\right)^2+7\right]}{4}\ge0\) (luôn đúng).
Do đó bđt ban đầu cũng đúng.
Đẳng thức xảy ra khi y = 0; x = z = 1.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\text{Ta có:}\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^2+x+y^2+y}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y\right)^2-2xy+1}{xy+x+y+1}=\frac{1-2xy+1}{xy+2}\)
\(=\frac{2-2xy}{2+xy}\)
\(\text{Vì }2-2xy\le2+xy\left(do\text{ x,y không âm}\right)\text{ nên }\frac{2-2xy}{2+xy}\le1\)
\(=>\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}\le1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(x^3+y^3)(x+y)\geq (x^2+y^2)^2$
$\Leftrightarrow 2(x+y)\geq (x^2+y^2)^2$
$\Rightarrow 4(x+y)^2\geq (x^2+y^2)^4(1)$
Áp dụng BĐT AM-GM: $2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow 8(x^2+y^2)\geq (x^2+y^2)^4$
$\Rightarrow 8\geq (x^2+y^2)^3$
$\Rightarrow 2\geq x^2+y^2$ (đpcm)