K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 3 2020

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(x^3+y^3)(x+y)\geq (x^2+y^2)^2$

$\Leftrightarrow 2(x+y)\geq (x^2+y^2)^2$

$\Rightarrow 4(x+y)^2\geq (x^2+y^2)^4(1)$

Áp dụng BĐT AM-GM: $2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow 8(x^2+y^2)\geq (x^2+y^2)^4$

$\Rightarrow 8\geq (x^2+y^2)^3$

$\Rightarrow 2\geq x^2+y^2$ (đpcm)

22 tháng 3 2021

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\)

\(\Rightarrow4\left(x+y\right)^2\ge\left(x^2+y^2\right)^4\)  \(\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM: 

\(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\) \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) \(\Rightarrow8\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^4\)

\(\Rightarrow8\ge\left(x^2+y^2\right)^3\)

\(\Rightarrow2\ge x^2+y^2\)hay \(x^2+y^2\le2\)

13 tháng 7 2021

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương ta có    

        x^3+x^3+1\ge3\sqrt[3]{x^3.x^3.1}\Leftrightarrow2x^3+1\ge3x^2, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=1.

Tương tự,  2y^3+1\ge3y^2. Cộng theo vế hai bất đẳng thức nhận được ta có

             2\left(x^3+y^3\right)+2\ge3\left(x^2+y^2\right)

Sử dụng giả thiết  x^3+y^3=2 suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi      x=y=1

14 tháng 1 2021

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(y+2\ge\left(2-x\right)\left(2-z\right)\left(2-y\right)\).

Theo bất đẳng thức AM - GM: \(\left(2-x\right)\left(2-z\right)\le\dfrac{\left(4-x-z\right)^2}{4}=\dfrac{\left(2-y\right)^2}{4}\).

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

\(y+2\ge\dfrac{\left(2-y\right)^3}{4}\).

Mặt khác, bđt trên tương đương: \(\dfrac{y\left[\left(y-3\right)^2+7\right]}{4}\ge0\) (luôn đúng).

Do đó bđt ban đầu cũng đúng.

Đẳng thức xảy ra khi y = 0; x = z = 1.

 

 

31 tháng 8 2020

\(\text{Ta có:}\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^2+x+y^2+y}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)

\(=\frac{\left(x+y\right)^2-2xy+1}{xy+x+y+1}=\frac{1-2xy+1}{xy+2}\)

\(=\frac{2-2xy}{2+xy}\)

\(\text{Vì }2-2xy\le2+xy\left(do\text{ x,y không âm}\right)\text{ nên }\frac{2-2xy}{2+xy}\le1\)

\(=>\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}\le1\)