Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Làm tạm max, min chưa nhìn thấy điểm rơi :(
Với các số không âm \(a;b;c;d\) ta có:
\(a+b+c+d\ge4\sqrt[4]{abcd}\Rightarrow abcd\le\left(\frac{a+b+c+d}{4}\right)^4\)
Do \(x;y\) không âm \(\Rightarrow xy^2\ge0\Rightarrow P< 0\) nếu \(8-x-y< 0\) và \(P\ge0\) nếu \(8-x-y\ge0\Rightarrow P_{max}\) nếu có sẽ xảy ra khi \(8-x-y\ge0\)
Xét trường hợp \(8-x-y\ge0\) ta có:
\(P=4x.\frac{y}{2}.\frac{y}{2}\left(8-x-y\right)\le4\left(\frac{x+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}+8-x-y}{4}\right)^4=64\)
\(\Rightarrow P_{max}=64\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{y}{2}\\x=8-x-y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=4\end{matrix}\right.\)
Làm nốt min
\(P=xy^2\left(8-x-y\right)=xy^2.\left[8-\left(x+y\right)\right]\ge x.\frac{y}{2}.\frac{y}{2}.\left(8-12\right).4=x.\frac{y}{2}.\frac{y}{2}.\left(-16\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b+c\ge3.\sqrt[3]{abc}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\ge abc\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
Áp dụng:\(P\ge x.\frac{y}{2}.\frac{y}{2}.\left(8-12\right).4=x.\frac{y}{2}.\frac{y}{2}.\left(-16\right)\ge\left(\frac{x+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}}{3}\right)^3.\left(-16\right)=\left(\frac{12}{3}\right)^3.\left(-16\right)=4^3.\left(-16\right)=-1024\)Dấu " = " xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=12\\x=\frac{y}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=8\\x=4\end{matrix}\right.\)
KL:.......................
\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=8\\ \Rightarrow xy+x+y+1=8\\ \Rightarrow xy+x+y=7\)
\(x\left(x+1\right)+y\left(y+1\right)+xy=17\\ \Rightarrow x^2+y^2+x+y+xy=17\\ \Rightarrow x^2+y^2=10\)
`{((a-1)x+y=a),(x+(a-1)y=2):}`
`<=>{(ax-x+y=a),(x+ay-y=2):}`
`<=>{(a(x-1)=x-y<=>a=[x-y]/[x-1]),(x+[x-y]/[x-1]-y=2):}`
`<=>x(x-1)+x-y-y(x-1)=2(x-1)`
`<=>x^2-x+x-y-xy+y=2x-2`
`<=>x^2-xy-2x+2=0`
_________________________________________
`b)x^2-xy-2x+2=0`
`<=>xy=x^2-2x+2`
`<=>y=x-2+2/x`
Thay `y=x-2+2/x` vào `6x^2-17y=7` có:
`6x^2-17(x-2+2/x)=7`
`<=>6x^3-17x^2+34x-34-7x=0`
`<=>6x^3-12x^2-5x^2+10x+17x-34=0`
`<=>(x-2)(6x^2-5x+17)=0`
Mà `6x^2-5x+17 > 0`
`=>x-2=0<=>x=2`
`=>y=2-2+2/2=1`
Thay `x=2;y=1` vào `(a-1)x+y=a` có: `(a-1).2+1=a<=>a=1`
a)\(\hept{\begin{cases}2x-3y=1\\4x-5y=2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x-6y=2\\4x-5y=2\end{cases}}}\)
Trừ 2 vế lại ta được
\(4x-4x-6y+5y=0\Leftrightarrow-y=0\Leftrightarrow y=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)
b)Đặt $S=x+y,P=xy$ thì được:
\(\left\{ \begin{align} & S+P=2+3\sqrt{2} \\ & {{S}^{2}}-2P=6 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{S}^{2}}+2S+1=11+6\sqrt{2}={{\left( 3+\sqrt{2} \right)}^{2}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} S = 2 + \sqrt 2 \\ P = 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {2;\sqrt 2 } \right),\left( {\sqrt 2 ;2} \right)} \right\}\\ \left\{ \begin{array}{l} S = - 4 - \sqrt 2 \\ P = 6 + 4\sqrt 2 \end{array} \right.\left( {VN} \right) \end{array} \)
\( c)\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} + xy + 3{y^2} - 2y - 4 = 0\\ 3{x^2} + 5{y^2} + 4x - 12 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\left( {2{x^2} + xy + 3{y^2} - 2y - 4} \right) - \left( {3{x^2} + 5{y^2} + 4x - 12} \right) = 0\\ 3{x^2} + 5{y^2} + 4x - 12 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 2xy + {y^2} - 4x - 4y + 4 = 0\\ 3{x^2} + 5{y^2} + 4x - 12 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {x + y - 2} \right)^2} = 0\\ 3{x^2} + 5{y^2} + 4x - 12 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y - 2 = 0\\ 3{x^2} + 5{y^2} + 4x - 12 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 1 \end{array} \right. \)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(A=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\)
\(\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z+3}=\dfrac{3^2}{3+3}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
a. Theo bài ra ta có: \(x^2+x-2=0\)
\(\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-\left(-2\right)+2=4\\y=-1+2=1\end{matrix}\right.\)
Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là: \(\left(-2;4\right)\); \(\left(1:1\right)\)
b. Thay x = 2 ; y = -1 vào hpt ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}8-a=b\\2+b=a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-a-b=-8\\-a+b=-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5\\b=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le x\le2\\0\le y\le2\\0\le x+y\le\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)
\(A=x^2-2x-y\Leftrightarrow A+y+1=\left(x-1\right)^2\)
(1) VP >=0 => VT >=0
\(\Rightarrow A\ge-\left(y+1\right)\ge-3\) đẳng thức khi y=2 và x=1
(2) VP<=1 => VT <=1
\(\Rightarrow A+y+1\le1\Rightarrow A\le-y\le0\)\(\Rightarrow A\le0\) đẳng thức khi y=0 x =2 hoặc 0
Kết luận
\(-3\le A\le0\)
Ace Legona