Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=8\\ \Rightarrow xy+x+y+1=8\\ \Rightarrow xy+x+y=7\)
\(x\left(x+1\right)+y\left(y+1\right)+xy=17\\ \Rightarrow x^2+y^2+x+y+xy=17\\ \Rightarrow x^2+y^2=10\)
a)\(\hept{\begin{cases}2x-3y=1\\4x-5y=2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x-6y=2\\4x-5y=2\end{cases}}}\)
Trừ 2 vế lại ta được
\(4x-4x-6y+5y=0\Leftrightarrow-y=0\Leftrightarrow y=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+x+y=8\left(1\right)\\x^2+y^2+xy=7\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
(1) và (2), trừ vế theo vế
\(\Rightarrow x+y-xy=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)-y\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(1-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)
Đến đây bn tự biện luận tiếp nhé (^ . ^). . .
b)Đặt $S=x+y,P=xy$ thì được:
\(\left\{ \begin{align} & S+P=2+3\sqrt{2} \\ & {{S}^{2}}-2P=6 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{S}^{2}}+2S+1=11+6\sqrt{2}={{\left( 3+\sqrt{2} \right)}^{2}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} S = 2 + \sqrt 2 \\ P = 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {2;\sqrt 2 } \right),\left( {\sqrt 2 ;2} \right)} \right\}\\ \left\{ \begin{array}{l} S = - 4 - \sqrt 2 \\ P = 6 + 4\sqrt 2 \end{array} \right.\left( {VN} \right) \end{array} \)
\( c)\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} + xy + 3{y^2} - 2y - 4 = 0\\ 3{x^2} + 5{y^2} + 4x - 12 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\left( {2{x^2} + xy + 3{y^2} - 2y - 4} \right) - \left( {3{x^2} + 5{y^2} + 4x - 12} \right) = 0\\ 3{x^2} + 5{y^2} + 4x - 12 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 2xy + {y^2} - 4x - 4y + 4 = 0\\ 3{x^2} + 5{y^2} + 4x - 12 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {x + y - 2} \right)^2} = 0\\ 3{x^2} + 5{y^2} + 4x - 12 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y - 2 = 0\\ 3{x^2} + 5{y^2} + 4x - 12 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 1 \end{array} \right. \)
Lời giải:
Đặt \(x^2+y^2=a,xy=b\)
HPT tương đương:
\(\left\{\begin{matrix} x^2+y^2-xy=2\\ (x^2+y^2)^2+2x^2y^2=8\end{matrix}\right.\) \(\left\{\begin{matrix} a-b=2\leftrightarrow a=b+2\\ a^2+2b^2=8\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (b+2)^2+2b^2=8\)
\(\Leftrightarrow 3b^2+4b-4=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=\dfrac{2}{3}\rightarrow a=\dfrac{8}{3}\\b=-2\Rightarrow a=0\end{matrix}\right.\)
TH1: \(\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=\frac{8}{3}\\ xy=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2-2xy=\frac{8}{3}\\ xy=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow x+y=\pm 2\)
\(\bullet x+y=2\), theo định lý Viete đảo, $x,y$ là hai nghiệm của PT:
\(t^2-2t+\frac{2}{3}=0\Rightarrow (x,y)=\left (\frac{3+\sqrt{3}}{3},\frac{3-\sqrt{3}}{3}\right)\) và hoán vị
\(\bullet x+y=-2\), theo định lý Viete đảo, $x,y$ là hai nghiệm của PT:
\(t^2+2t+\frac{2}{3}=0\Rightarrow (x,y)=\left (\frac{-3+\sqrt{3}}{3},\frac{-3-\sqrt{3}}{3}\right)\) và hoán vị
TH2: \(\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=0\\ xy=-2\end{matrix}\right.\)
Hiển nhiên \(x^2+y^2\geq 0\forall x,y\in\mathbb{R}\) nên điều này xảy ra khi \(x=y=0\), thử lại thấy vô lý (loại)
⇌ 2x(x+1)(y+1)+xy= -2y(y+1)(x+1)-xy
⇌ 2x(x+1)(y+1)+ 2y(y+1)(x+1)+xy+xy=0
⇌ (x+1)(y+1)(2x+2y)+2xy=0
⇌ 2(x+1)(y+1)(x+y)+2xy=0
⇌ 2((x+1)(y+1)(x+y)+xy)=0
⇌ x2y+x2+xy+x+xy2+xy+y2+y+xy=0
mk đc đến đó thui
thông cảm nha
mk dùng cách đặt ẩn phụ: x+y=a; xy=b => (a+b)(a+1)=0 mà chưa ra đc gì nữa. nản
Tại sao lại x2 + 2xy + y2 = 4??? Theo đề bài thì (x + y)2 = 2 mà?
\(x^2+2xy+y^2=4\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=4-2xy=4-2=2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=2xy\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2=0\Leftrightarrow x=y\)
Thay vào pt suy ra \(x=y=1\)
Làm tạm max, min chưa nhìn thấy điểm rơi :(
Với các số không âm \(a;b;c;d\) ta có:
\(a+b+c+d\ge4\sqrt[4]{abcd}\Rightarrow abcd\le\left(\frac{a+b+c+d}{4}\right)^4\)
Do \(x;y\) không âm \(\Rightarrow xy^2\ge0\Rightarrow P< 0\) nếu \(8-x-y< 0\) và \(P\ge0\) nếu \(8-x-y\ge0\Rightarrow P_{max}\) nếu có sẽ xảy ra khi \(8-x-y\ge0\)
Xét trường hợp \(8-x-y\ge0\) ta có:
\(P=4x.\frac{y}{2}.\frac{y}{2}\left(8-x-y\right)\le4\left(\frac{x+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}+8-x-y}{4}\right)^4=64\)
\(\Rightarrow P_{max}=64\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{y}{2}\\x=8-x-y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=4\end{matrix}\right.\)
Làm nốt min
\(P=xy^2\left(8-x-y\right)=xy^2.\left[8-\left(x+y\right)\right]\ge x.\frac{y}{2}.\frac{y}{2}.\left(8-12\right).4=x.\frac{y}{2}.\frac{y}{2}.\left(-16\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b+c\ge3.\sqrt[3]{abc}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\ge abc\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
Áp dụng:\(P\ge x.\frac{y}{2}.\frac{y}{2}.\left(8-12\right).4=x.\frac{y}{2}.\frac{y}{2}.\left(-16\right)\ge\left(\frac{x+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}}{3}\right)^3.\left(-16\right)=\left(\frac{12}{3}\right)^3.\left(-16\right)=4^3.\left(-16\right)=-1024\)Dấu " = " xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=12\\x=\frac{y}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=8\\x=4\end{matrix}\right.\)
KL:.......................