K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

29 tháng 10 2023

a: ΔCAE cân tại C

mà CI là đường trung tuyến

nên CI\(\perp\)AE

Xét ΔACM vuông tại A có AI là đường cao

nên \(CI\cdot CM=CA^2\)

b: \(\widehat{BAE}+\widehat{CAE}=90^0\)

\(\widehat{HAE}+\widehat{CEA}=90^0\)

mà \(\widehat{CAE}=\widehat{CEA}\)

nên \(\widehat{BAE}=\widehat{HAE}\)

=>AE là phân giác của góc HAB

ΔCAE cân tại C

mà CI là đường trung tuyến

nên CI là phân giác của \(\widehat{ACB}\)

Xét ΔCAMvà ΔCEM có

CA=CE

\(\widehat{ACM}=\widehat{ECM}\)

CM chung

Do đó: ΔCAM=ΔCEM

=>\(\widehat{CAM}=\widehat{CEM}=90^0\) và MA=ME

=>ME\(\perp\)BC

mà AH\(\perp\)BC

nên ME//AH

Xét ΔIFA vuông tại I và ΔIME vuông tại I có

IA=IE

\(\widehat{IAF}=\widehat{IEM}\)

Do đó: ΔIFA=ΔIME

=>IF=IM

=>I là trung điểm của FM

Xét tứ giác AMEF có

I là trung điểm chung của AE và MF

=>AMEF là hình bình hành

mà MA=ME

nên AMEF là hình thoi

c: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(\dfrac{BC}{CA}=\dfrac{AB}{AH}\)

Xét ΔAHB có AE là tia phân giác của \(\widehat{HAB}\)

nên \(\dfrac{BE}{EH}=\dfrac{BA}{AH}\)

\(\dfrac{BE}{EH}=\dfrac{BA}{AH}\)

=>\(\dfrac{BE}{EH}=\dfrac{BC}{CA}\)

=>\(\dfrac{BE}{EH}=\dfrac{BC}{CE}\)

=>\(BE\cdot EC=EH\cdot BC\)

30 tháng 7 2017

1 phần thôi nhé

Nối BE, Gọi P là giao điểm của AD với BE.

Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABE => AH/HE=BP/PE=> HP//AB(1).

Từ (1)=> Tam giác AHP cân tại H=> AH=HP.(2)

Ta cần chứng minh AD//CE <=> DP//CE <=> BD/BC=BP/BE <=> BD/BC=1-(EP/BE).(3)

Mà EP/BE=HP/AB (do (1))=> EP/BE= AH/AB=HD/DB (do (2) và tc phân giác).  (4)

Khi đó (3)<=> BD/BC=1-(HD/DB) hay (BD/BC)+(HD/DB)=1 <=> BD^2+HD*BC=BC*DB

<=>  BD^2+HD*BC= (BD+DC)*BD <=> BD^2+HD*BC= BD^2+BD*DC <=> HD*BC=BD*DC  

<=> HD/DB=CD/BC <=> AH/AB=CD/BC. (5) 

    Chú ý: Ta cm được: CA=CD (biến đổi góc).

Nên (5) <=> AH/AB=CA/BC <=> Tg AHB đồng dạng Tg CAB.( luôn đúng)

=> DpCm. 

7 tháng 3 2016

Có vẻ bài này hơi không phù hợp với học sinh lớp 9. Đầu tiên ta sẽ phải sử dụng định lý sin cho tam giác: Trong tam giác ABC với bán kính đường tròn ngoại tiếp R thì tỷ số giữa cạnh và sin góc đối diện bằng 2R. Nhận xét tiếp theo: Diện tích tam giác bất kỳ một nửa tích độ dài hai cạnh nhân với sin của góc xen giữa hai cạnh đó.

Ta có \(S\left(ABC\right)=S\left(ABF\right)+S\left(ACF\right)=\frac{1}{2}AB\cdot AF\cdot\sin BAF+\frac{1}{2}AC\cdot AF\cdot\sin CAF\)
\(=\frac{1}{2}AB\cdot\frac{CD}{2R}\cdot AF+\frac{1}{2}AC\cdot AF\cdot\frac{BD}{2R}=\frac{AF}{4R}\left(AB\cdot CD+AC\cdot BD\right).\)  Do tứ giác ABDC nội tiếp nên theo định lý Ptoleme ta có \(AB\cdot CD+AC\cdot BD=AD\cdot BC.\)  LSuy ra \(S\left(ABC\right)=\frac{AF\cdot AD\cdot BC}{4R}.\)


Tiếp theo ta có \(S\left(AMDN\right)=S\left(AMD\right)+S\left(ADN\right)=\frac{1}{2}AM\cdot AD\cdot\sin BAD+\frac{1}{2}AD\cdot AN\cdot\sin DAC\)

\(=\frac{1}{2}AF\cdot\cos DAC\cdot AD\cdot\sin BAD+\frac{1}{2}AD\cdot AF\cdot\cos BAD\cdot\sin DAC\)

\(=\frac{1}{2}AF\cdot AD\cdot\left(\cos DAC\cdot\sin BAD+\sin DAC\cdot\cos BAD\right)=\frac{1}{2}\cdot AF\cdot AD\sin\left(DAC+BAD\right)\)
\(=\frac{1}{2}AF\cdot AD\cdot\sin BAC=\frac{1}{2}AF\cdot AD\cdot\frac{BC}{2R}=\frac{AF\cdot AD\cdot BC}{4R}.\)

Ở đây ta sử dụng công thức hình chiếu \(\sin\left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.\)

Vậy ta có tứ giác AMDN và tam giác ABC cùng diện tích.
 

8 tháng 4 2020

Karin Korano             

câu hỏi này của lớp 11 nhé !

1 cách trình bày khác; ngắn gọn hơn nha Thầy Giáo Toán

đặt ^BAE=^CAE=α;  EAF=β

Ta có S∆ABC =1/2.AB.AF.sin(α+β)+1/2 .AC.AF sin α =AF/4R (AB.CD+AC.BD)

(R-là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) (1)

Diện tích tứ giác ADMN là

SADMN =1/2.AM.AD.sin α +1/2AD.AN.sin(α+β) = 1/2.AD.AF.sin(2α +β) =AF/4R.AD.BC (2)

Vì tứ giác ABDC nội tiếp trong đường tròn nên theo định lí Ptoleme ta có

: AB.CD + AC.BD = AD.BC (3).

Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh

 

B1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 6cm, AC = 8cm. Vẽ đường cao AH, đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB tại E và cắt AC tại điểm F.a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhậtb) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếpc) Gọi I là trung điểm của BC.Chứng minh AI vuông góc với EFd) Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEFC.Tính diện tích hình tròn tâm K.B2: Cho ABC nhọn, đường tròn (O)...
Đọc tiếp

B1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 6cm, AC = 8cm. Vẽ đường cao AH, đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB tại E và cắt AC tại điểm F.

a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật

b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp

c) Gọi I là trung điểm của B
C.Chứng minh AI vuông góc với EF

d) Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEF
C.Tính diện tích hình tròn tâm K.

B2: Cho ABC nhọn, đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D, CE cắt BD tại H

a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp

b) AH cắt BC tại F. chứng minh FA là tia phân giác của góc DFE

c) EF cắt đường tròn tại K ( K khác E). chứng minh DK// AF

d) Cho biết góc BCD = 450 , BC = 4 cm. Tính diện tích tam giác ABC

B 3: cho đường tròn ( O) và điểm A ở ngoài (O)sao cho OA = 3R. vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) ( B và C là hai tiếp tuyến )

a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp

b) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt ( O) tại D ( khác B). đường thẳng AD cắt ( O) tại E. chứng minh AB2= AE. AD

c) Chứng minh tia đối của tia EC là tia phân giác của góc BEA

d) Tính diện tích tam giác BDC theo R

B4: Cho tam giác ABC nhọn, AB >AC, nội tiếp (O,R), hai đường cao AH, CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh tứ giác BDHF nội tiếp? Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó

b) Tia BH cắt AC tại E. chứng minh HE.HB= HF.HC

c) Vẽ đường kính AK của (O). chứng minh AK vuông góc với EF

d) Trường hợp góc KBC= 450, BC = R. tính diện tích tam giác AHK theo R

B5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Ba đương cao AE, BF, CK cắt nhau tại H. Tia AE, BF cắt đường tròn tâm O lần lượt tại I và J.

a) Chứng minh tứ giác AKHF nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh hai cung CI và CJ bằng nhau.

c) Chứng minh hai tam giác AFK và ABC đồng dạng với nhau

B6: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn  ( O; R ),các đường cao BE, CF  .

a)Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.

b)Chứng minh OA  vuông góc với EF.

3
27 tháng 5 2018

B1, a, Xét tứ giác AEHF có: góc AFH = 90o  ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

                                             góc AEH = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

                                             Góc CAB = 90o ( tam giác ABC vuông tại A)

=> tứ giác AEHF là hcn(đpcm)

b, do AEHF là hcn => cũng là tứ giác nội tiếp => góc AEF  = góc AHF ( hia góc nội tiếp cùng chắn cung AF)

mà góc AHF = góc ACB ( cùng phụ với góc FHC)

=> góc AEF = góc ACB => theo góc ngoài tứ giác thì tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp (đpcm)

c,gọi M là giao điểm của AI và EF

ta có:góc AEF = góc ACB (c.m.t) (1)

do tam giác ABC vuông tại A và có I là trung điểm của cạng huyền CB => CBI=IB=IA

hay tam giác IAB cân tại I => góc MAE = góc ABC (2)

mà góc ACB + góc ABC + góc BAC = 180o (tổng 3 góc trong  một tam giác)

=>  ACB + góc ABC = 90o (3)

từ (1) (2) và (3) => góc AEF + góc MAE = 90o

=> góc AME = 90o (theo tổng 3 góc trong một tam giác)

hay AI uông góc với EF (đpcm)

1 tháng 4 2019

em moi lop 6 huhuhuhuhuhu

Câu 1: 

a: Xét ΔAHB vuông tạiH có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

b: \(BC=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{4\cdot6}{2\sqrt{13}}=\dfrac{12}{\sqrt{13}}\left(cm\right)\)

\(AE=\dfrac{AH^2}{AC}=\dfrac{144}{13}:6=\dfrac{24}{13}\left(cm\right)\)