Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hình bạn tự vẽ nhá, ta có BĐT cần chúng minh <=>\(\frac{AC.AB}{AM.AN}\ge3+2\sqrt{2}\)
Áp dụng tính chất của đường phân giác, ta có \(\frac{AM}{AC}=\frac{AB}{AB+BC};\frac{AN}{AB}=\frac{AC}{AC+BC}\Rightarrow\frac{AB.AC}{AM.AN}=\frac{\left(AC+BC\right)\left(AB+BC\right)}{AB.AC}\)
=\(\frac{AB.AC+BC\left(AB+AC\right)+BC^2}{AB.AC}=1+\frac{BC\left(AB+AC\right)+BC^2}{AB.AC}\)
Mà \(BC=\sqrt{BC^2}=\sqrt{AB^2+AC^2}\)
Mà \(AB^2+AC^2\ge2AB.AC\Rightarrow BC\ge\sqrt{2}.\sqrt{AB.AC}\)
Vì \(AB+AC\ge2\sqrt{AB.AC}\Rightarrow BC\left(AB+AC\right)\ge2\sqrt{2}AB.AC\)(1)
Ta có \(BC^2=AB^2+AC^2\ge2AB.AC\)(2)
Từ (1) và (2)
=>\(BC\left(AB+AC\right)+BC^2\ge2AB.AC+2\sqrt{2}AB.AC\)
=>\(\frac{BC\left(AB+AC\right)+BC^2}{AB.AC}\ge2+2\sqrt{2}\Rightarrow\frac{BC\left(AB+AC\right)+BC^2}{AB.AC}+1\ge3+2\sqrt{2}\)
=>\(\frac{AB.AC}{AM.AN}\ge3+2\sqrt{2}\left(ĐPCM\right)\)
^_^
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Mk làm cho bài bđt nha
Bài 2 :
Có : (x-y)^2 >= 0
<=> x^2-2xy+y^2 >= 0
<=> x^2+y^2 >= 2xy
Tương tự : y^2+z^2 >= 2yz ; z^2+x^2 >= 2zx
=> 2.(x^2+y^2+z^2) >= 2xy+2yz+2zx
<=> x^2+y^2+z^2 >= xy+yz+zx
<=> x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx >= 3.(xy+yz+zx)
<=> (x+y+z)^2 >= 3.(xy+yz+zx)
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z
Tk mk nha
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
kẻ đường cao AH của tam giác ABC.
Xét tam giác ABH và tam giác BCM có:
Thật vậy: xét tam giác AHC và tam giác BMC có:
Từ đó ta có đpcm.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Xét 2 tam giác vuông AMB và ANC có: \(\widehat{MAB}=\widehat{NAC}\) ( do AD là tia phân giác ^A )
\(\Rightarrow\)\(\Delta AMB~\Delta ANC\) ( g-g ) \(\Rightarrow\)\(\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}\)
b) Theo bđt 3 điểm ta có: \(\hept{\begin{cases}BM+DM\le BD\\CN+DN\le CD\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(BM+CN+DM+DN\le BC\)
\(\Rightarrow\)\(BM+CN\le BC\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}M\in BD,AD\\N\in CD,AD\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(M\equiv N\equiv D\)\(\Rightarrow\)\(BD\perp AD;CD\perp AD\) hay tam giác ABC có AD vừa là đường phân giác vừa là đường cao => tam giác ABC cân tại A
c) Có: \(\sin\left(\frac{A}{2}\right)=\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}=\frac{BM+CN}{AB+AC}\le\frac{BC}{AB+AC}\le\frac{BC}{2\sqrt{AB.AC}}\)
Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC cân tại A
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Sửa đề: Chứng minh \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
Cách 1: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có đpcm.
Cách 2:BĐT \(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (đúng)
Ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi a = b= c
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a, Đặt \(\sqrt[4]{a}=x;\sqrt[4]{b}=y.\)Bất đẳng thức ban đầu trở thành: \(\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le xy.\)
ta có : \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le\frac{2x^2y^2}{2xy}=xy.\)(đpcm )
dấu " = " xẩy ra khi x = y > 0
vậy bất đăng thức ban đầu đúng. dấu " = " xẩy ra khi a = b >0
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có : \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3ab+3bc+3ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ( Luôn đúng )
Dấu \("="\) hiển nhiên xảy ra khi \(a=b=c\)