Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hình bạn tự vẽ nhá, ta có BĐT cần chúng minh <=>\(\frac{AC.AB}{AM.AN}\ge3+2\sqrt{2}\)
Áp dụng tính chất của đường phân giác, ta có \(\frac{AM}{AC}=\frac{AB}{AB+BC};\frac{AN}{AB}=\frac{AC}{AC+BC}\Rightarrow\frac{AB.AC}{AM.AN}=\frac{\left(AC+BC\right)\left(AB+BC\right)}{AB.AC}\)
=\(\frac{AB.AC+BC\left(AB+AC\right)+BC^2}{AB.AC}=1+\frac{BC\left(AB+AC\right)+BC^2}{AB.AC}\)
Mà \(BC=\sqrt{BC^2}=\sqrt{AB^2+AC^2}\)
Mà \(AB^2+AC^2\ge2AB.AC\Rightarrow BC\ge\sqrt{2}.\sqrt{AB.AC}\)
Vì \(AB+AC\ge2\sqrt{AB.AC}\Rightarrow BC\left(AB+AC\right)\ge2\sqrt{2}AB.AC\)(1)
Ta có \(BC^2=AB^2+AC^2\ge2AB.AC\)(2)
Từ (1) và (2)
=>\(BC\left(AB+AC\right)+BC^2\ge2AB.AC+2\sqrt{2}AB.AC\)
=>\(\frac{BC\left(AB+AC\right)+BC^2}{AB.AC}\ge2+2\sqrt{2}\Rightarrow\frac{BC\left(AB+AC\right)+BC^2}{AB.AC}+1\ge3+2\sqrt{2}\)
=>\(\frac{AB.AC}{AM.AN}\ge3+2\sqrt{2}\left(ĐPCM\right)\)
^_^
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
sao dài thế @@ chộp bài nào làm bài nấy ha
Câu 1:
Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ thì \(\sqrt{7}=\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản, a;b thuộc Z, b khác 0
\(\frac{a}{b}=\sqrt{7}\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^2=7\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=7\Rightarrow a^2=7b^2\)=> a2 chia hết cho 7 (1)
=> a chia hết cho 7 => a=7k với k thuộc Z
Thay a=7k vào a2=7b2 ta được 49k2=7b2 => 7k2=b2 => b2 chia hết cho 7 => b chia hết cho 7 (2)
Từ (1) và (2) => phân số a/b chưa tối giản trái với giả thiết ban đầu
=>\(\sqrt{7}\) là số vô tỉ (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Câu 1:
Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ \(\Rightarrow\sqrt{7}=\frac{m}{n}\) (tối giản)
\(\Rightarrow7=\left(\frac{m}{n}\right)^2=\frac{m^2}{n^2}\) Hay \(7n^2=m^2\left(1\right)\)
Đẳng thức này chứng tỏ \(m^2⋮7\) Mà \(7\) là số nguyên tố nên \(m⋮7\)
Đặt \(m=7k\left(k\in Z\right)\) ta có: \(m^2=49k^2\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra: \(7n^2=49k^2\) nên \(n^2=7k^2\left(3\right)\)
Từ \(\left(3\right)\) ta lại có: \(n^2⋮7\) và vì \(7\) là số nguyên tố nên \(n⋮7\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m⋮7\\n⋮7\end{cases}}\) nên phân số \(\frac{m}{n}\) không tối giản, trái với giả thiết
Vậy \(\sqrt{7}\) không phải là số hữu tỉ
\(\Leftrightarrow\sqrt{7}\) là số vô tỉ (Điều phải chứng minh)