Question

[Bùi Khánh Chi]

Cho tam giác ABC vuông cân, góc C = 90 độ, M \(\in\)AB, kẻ MR \(⊥\)AC, MS \(⊥\)BC

a) Chứng minh: CM và RS = nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn

b) Gọi O trung điểm của AB. Hỏi tam giác ORS là tam giác gì ?

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

a) Xét tứ giác RMSC có: \(\widehat{C}=\widehat{S}=\widehat{R}=90^o\) nên RMSC là hình chữ nhật.

Vậy thì hai đường chéo RS và CM bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

b)  

Do tam giác ABC là tam giác vuông nên trung tuyến CO = AO = OB.

Cũng do tam giác ABC là tam giác vuông cân nên \(\widehat{A}=45^o\) và CO là trung tuyến đồng thời là phân giác.

Vậy thì \(\widehat{OCB}=45^o\)

Xét tam giác ARM có \(\widehat{ARM}=90^o;\widehat{RAM}=45^o\) nên ARM là tam giác cân tại R.

Suy ra RA = RM, mà RM = CS nên CS = AR.

Xét tam giác ARO và tam giác CSO  có: 

AO = CO 

AR = CS

\(\widehat{OAR}=\widehat{OCS}=45^o\)

\(\Rightarrow\Delta ARO=\Delta CSO\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow RO=SO;\widehat{AOR}=\widehat{COS}\)

Vậy tam giác ORS cân tại O.

Lại có \(\widehat{ROS}=\widehat{ROC}+\widehat{COS}=\widehat{ROC}+\widehat{AOR}=90^o\)

Vậy nên tam giác ROS là tam giác vuông cân tại O.

Answer 2

[TAKASA]

Bài giải : 

a) Xét tứ giác RMSC có: ^C=^S=^R=90o nên RMSC là hình chữ nhật.

Vậy thì hai đường chéo RS và CM bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

b)  

Do tam giác ABC là tam giác vuông nên trung tuyến CO = AO = OB.

Cũng do tam giác ABC là tam giác vuông cân nên ^A=45o và CO là trung tuyến đồng thời là phân giác.

Vậy thì ^OCB=45o

Xét tam giác ARM có ^ARM=90o;^RAM=45o nên ARM là tam giác cân tại R.

Suy ra RA = RM, mà RM = CS nên CS = AR.

Xét tam giác ARO và tam giác CSO  có: 

AO = CO 

AR = CS

^OAR=^OCS=45o

⇒ΔARO=ΔCSO(c−g−c)

⇒RO=SO;^AOR=^COS

Vậy tam giác ORS cân tại O.

Lại có ^ROS=^ROC+^COS=^ROC+^AOR=90o

Vậy nên tam giác ROS là tam giác vuông cân tại O.