Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tham khảo:
Ta có: \(R=\dfrac{abc}{4S};r=\dfrac{S}{p}\)
Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên \(b=c\) và \(a=\sqrt{b^2+c^2}=b\sqrt{2}\)
Xét tỉ số:
\(\dfrac{R}{r}=\dfrac{abc.p}{4S^2}=\dfrac{abc.\dfrac{a+b+c}{2}}{4.\dfrac{1}{4}.\left(b.c\right)^2}=\dfrac{a\left(a+2b\right)}{2b^2}=\dfrac{2b^2\left(1+\sqrt{2}\right)}{2b^2}=1+\sqrt{2}\)
a, 3 đường trung tuyến cách nhau tại trọng tâm, khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài trung tuyến đi qua đỉnh đó
Từ định lí trên ta có \(\left\{{}\begin{matrix}m_a=\dfrac{2}{3}GA\\m_b=\dfrac{2}{3}GB\\m_c=\dfrac{2}{3}GC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m_a^2=\dfrac{4}{9}GA^2\\m_b^2=\dfrac{4}{9}GB^2\\m_c^2=\dfrac{4}{9}GB^2\end{matrix}\right.\)
Đặt D = GA2 + GB2 + GC2
⇒ D = ma2 + mb2 + mc2
⇒ D = \(\dfrac{2\left(a^2+b^2\right)-c^2+2\left(b^2+c^2\right)-a^2+2\left(a^2+c^2\right)-b^2}{4}\)
⇒ D = \(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\)
b, cotA = \(\dfrac{cosA}{sinA}=\dfrac{\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{\dfrac{a}{2R}}=R.\dfrac{b^2+c^2-a^2}{abc}\)
Tương tự ta có
cotB = \(R.\dfrac{a^2+c^2-b^2}{abc}\)
cotC = \(R.\dfrac{a^2+b^2-c^2}{abc}\)
Vậy cotA + cotB + cotC = \(R.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}\) (1)
Theo công thức tính diện tích
S = \(\dfrac{abc}{4R}\) ⇒ abc = 4 . S . R
Thế vào (1) ta có
cotA + cotB + cotC = \(R.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4.S.R}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S}\)
a, \(\overrightarrow{GA}=-\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
\(\Rightarrow GA^2=\dfrac{1}{9}\left(AB^2+AC^2+2AB.AC.cosA\right)\)
\(=\dfrac{1}{9}\left(c^2+b^2+2bc.cosA\right)\)
\(=\dfrac{1}{9}\left(c^2+b^2+b^2+c^2-a^2\right)=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{9}\)
Tương tự \(GB^2=\dfrac{2a^2+2c^2-b^2}{9}\); \(GC^2=\dfrac{2a^2+2b^2-c^2}{9}\)
\(\Rightarrow GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\)
b, \(cotA+cotB+cotC=\dfrac{cosA}{sinA}+\dfrac{cosB}{sinB}+\dfrac{cosC}{sinC}\)
\(=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bcsinA}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2acsinB}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2absinC}\)
\(=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bcsinA}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac.\dfrac{b}{a}sinA}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab.\dfrac{c}{a}sinA}\)
\(=\dfrac{a}{2sinA}\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{abc}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{abc}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{abc}\right)\)
\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2bcsinA}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4.S}\)
Ta có:
\(r^2+p^2+4Rr=\left(\dfrac{S}{p}\right)^2+p^2+\dfrac{abc}{S}.\dfrac{S}{p}\)
\(=\dfrac{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p}+p^2+\dfrac{abc}{p}\)
\(=\dfrac{p^3+\left(ab+bc+ac\right)p-p^2\left(a+b+c\right)-abc+p^3+abc}{p}\)
\(=ab+bc+ca\)
Do đó:
\(\dfrac{ab+bc+ca}{4R^2}=\dfrac{r^2+p^2+4Rr}{4R^2}\)
\(\Leftrightarrow sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA=\dfrac{r^2+p^2+4Rr}{4R^2}\)\(\left(đpcm\right)\)
bạn giải thích chi tiết đoạn này hộ mình được ko ạ
p^3+(ab+bc+ac)p−p^2(a+b+c)−abc+p^3+abc/p
=ab+bc+ca
a, Áp dụng BĐT Cosi:
\(\sqrt{\left(p-a\right)\left(p-b\right)}\le\dfrac{p-a+p-b}{2}=\dfrac{c}{2}\)
\(\sqrt{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\le\dfrac{p-b+p-c}{2}=\dfrac{a}{2}\)
\(\sqrt{\left(p-c\right)\left(p-a\right)}\le\dfrac{p-c+p-a}{2}=\dfrac{b}{2}\)
\(\Rightarrow\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\le\dfrac{1}{8}abc\)
tham khảo
https://cungthi.online/cau-hoi/cho-tam-giac-abc-tap-hop-nhung-diem-m-thoaman-4mambmc-30238-1652.html
Gọi G là trọng tâm của ΔABC
⇒ \(3\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\)
⇒ \(MA^2+MB^2+MC^{2^{ }}+2VT=9MG^2\)
⇒ VT = 9MG2 - MA2 + MB2 + MC2
⇒ \(\dfrac{a^2}{6}\) = 9MG2 - MA2 + MB2 + MC2
MA2 + MB2 + MC2
\(=\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)^2\)
= 3MG2 + 2\(\overrightarrow{MG}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\)+ GA2 + GB2 + GC2
= 3MG2 + \(GA^2+GB^{2^{ }}+GC^2\)
do \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
Vậy ta có
\(\dfrac{a^2}{6}=6MG^2-GA^2-GB^2-GC^2\)
⇔ \(\dfrac{a^2}{6}+\left(GA^2+GB^2+GC^2\right)=6MG^2\)(1)
Lưu ý, GA,GB,GC lần lượt bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A,B,C. Nhưng do ΔABC đều nên chúng sẽ lần lượt bằng \(\dfrac{2}{3}\) đường cao kẻ từ A,B,C (đặt là ha ; hb; hc)
Dễ dàng tìm được ha = hb = hc = \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
⇒ GA = GB = GC = \(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)
⇒ GA2 = GB2 = GC2 = \(\dfrac{a^2}{3}\)
⇒ GA2 + GB2 + GC2 = a2
Thay vào (1)
\(\dfrac{a^2}{6}+a^2=3MG^2\) ⇔ MG2 = \(\dfrac{7a^2}{18}\)
⇔ MG = \(\dfrac{a\sqrt{14}}{6}\)
Vậy R = \(\dfrac{a\sqrt{14}}{6}\)
Ai xem hộ sai chỗ nào vs