Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(p^2-p=q^2-3q+2\Leftrightarrow p\left(p-1\right)=\left(q-1\right)\left(q-2\right)⋮2\)=> q>p
TH1: p=2 => q=3 thỏa mãn
TH2: p>2
mà p nguyên tố lẻ => p-1 chia hết cho 2
và p-1 chia hết cho (q-1)(q-2) => p-1> (q-1)(1-2) vô lí
Ta có: \(\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}\)\(\Leftrightarrow a\left(c^2+b^2\right)=c\left(a^2+b^2\right)\)\(\Leftrightarrow ac^2+ab^2=a^2c+b^2c\Leftrightarrow ac\left(c-a\right)-b^2\left(c-a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-a\right)\left(ac-b^2\right)=0\)
Vì \(a\ne c\)nên \(c-a\ne0\)
Do đó \(ac-b^2=0\Leftrightarrow ac=b^2\Rightarrow\sqrt{ac}=b\)
Giả sử \(a^2+b^2+c^2\)là số nguyên tố
Ta có \(a^2+b^2+c^2=a^2+ac+c^2=\left(a+c\right)^2-ac=\left(a+c\right)^2-b^2\)\(=\left(a-b+c\right)\left(a+b+c\right)\)
\(=\left[\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{ac}+\left(\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}\right]\left[\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{ac}+\left(\sqrt{c}\right)^2+3\sqrt{ac}\right]\)
\(\left[\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}\right]\left[\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+3\sqrt{ac}\right]\)
Vì \(a^2+b^2+c^2\)là số nguyên tố nên có một ước số là 1
Mà \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}< \left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+3\sqrt{ac}\)
nên \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}=1\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2=1-\sqrt{ac}\)
Vì \(a\ne c\Rightarrow\sqrt{a}\ne\sqrt{c}\Rightarrow\sqrt{a}-\sqrt{c}\ne0\)\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2>0\)
Do đó \(1-\sqrt{ac}>0\Rightarrow\sqrt{ac}< 1\Rightarrow ac< 1\)(1)
Mà \(a^2+b^2>0\)và \(c^2+b^2>0\)nên \(\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}>0\Rightarrow\frac{a}{c}>0\Rightarrow\)a, c cùng dấu \(\Rightarrow ac>0\)(2)
Từ (1), (2) suy ra \(0< ac< 1\)
Mà a,c là số nguyên nên ac là số nguyên
Do đó không có giá trị a,c thỏa mãn
suy ra điều giả sử sai
Vậy \(a^2+b^2+c^2\) không thể là số nguyên tố
p=a^2+b^2 (1)
p là số nguyên tố, p-5 chia hết 8 => p lẻ >=13 và a,b có 1 chẵn 1 lẻ
A=a.x^2-b.y^2 chia hết cho p, nên có thể viết A = p(c.x^2 -d.y^2) với c,d phải nguyên
và c.p = a và d.p = b
thay (1) vào ta thấy c=a/(a^2+b^2) cần nguyên là vô lý vậy A muốn chia hết cho p <=> x và y cùng là bội số của p
Đặt \(p=8k+5\left(đk:K\in N\right)\)
Vì: \(\left(ax^2\right)^{4k+2}-\left(by^2\right)^{4k+2}⋮\left(ax^2-by^2\right)\)
\(\Rightarrow a^{4k+2}.x^{8k+4}-b^{4k+2}.y^{8k+4}⋮p\)
Mà \(a^{4k+2}.x^{8k+4}-b^{4k+2}.y^{8k+4}\)\(=\left(a^{4k+2}+b^{4k+2}\right).x^{8k+4}-b^{4k+2}\)\(\left(x^{8k+4}+y^{8k+4}\right)\)
Ta lại có: \(a^{4k+2}+b^{4k+2}=\left(a^2\right)^{2k+1}+\left(b^2\right)^{2k+1}⋮p\) ; p<d nên \(x^{8k+4}+y^{8k+4}⋮p\)
Làm tiếp đi
Trước hết ta có thể giả sử q=2
* Nếu n là số nguyên dương lẻ thì ta có:
\(p^n+2^n=\left(p+2\right)\left(\frac{p^n+2^n}{p+2}\right)=r^2\) mà do r là số nguyên tố nên ta phải có:
\(p+2=\frac{p^n+2^n}{p+2}=r\)
Nếu n là số lẻ và \(n\ge3\) thì ta có: \(\frac{p^n+2^n}{p+2}>p+2\) từ đây ta dẫn đến một điều vô lý. Do đó, ta phải có: n=1.
* Nếu n là số chẵn, đặt n=2k , \(k\in Z^+\) thì từ đây ta có: \(\left(p^k\right)^2+\left(2^k\right)^2=r^2\) mà dễ thấy p , r phải phân biệt nên đây là bộ ba Phythagore nên tồn tại x,y:(x,y) = 1 và x,y khác tính chẵn lẻ thỏa mãn:
\(\hept{\begin{cases}p^k=2xy\\2^k=x^2-y^2\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}2^k=2xy\\p^k=x^2-y^2\end{cases}}\)
Mà p là số nguyên tố nên trường hợp này không xảy ra.
Vậy ta phải có: n=1
Chúc bạn học tốt !!!
Ta có p^2-p=q^2-3q+2 <=> p(p-1)=(q-1)(q-2) (*)
Từ (*) suy ra p|(q-1)(q-2). Do p là snt nên p|(q-1) hoặc p|(q-2)
+) Xét p|(q-1). Đặt q=kp+1 (k E N*) thay vào (*):
kp(kp-1)=p(p-1) <=>k(kp-1)=p-1 <=> pk^2 -k-p+1=0.<=>(p-1)[p(k+1)-1]=0
=>k=1 (Do p(k+1)-1>0).
Lúc này q=p+1>=3. Do vậy p=2. q=3 (Do p;q nguyên tố) suy ra p^2+q^2=13 là snt
Xét p|(q-2) đặt q=tp+2 (t E N*) . Thay vào (*) biến đổi tương tự ta được . (t+1)[p(k-1)+1]=0 (vô lý nên loại)
Vậy đpcm
p2 - q2 = p - 3q + 2
4p2 - 4q2 = 4p - 12q + 8
4p2 - 4p + 1 = 4q2 - 12q + 9
(2p - 1)2 = (2q - 3)2
Mà 2p - 1 >0(p nguyên tố);2q - 3 >0(q nguyên tố)
Do đó 2p - 1 = 2q - 3 <=> p + 1 = q
Ta có q > 3 (vì p > 2) nên q lẻ, do đó p chẵn
=> p = 2. Nên q = p + 1 = 3
Vậy p2 + q2 = 22 + 32 = 4 + 9 = 13 là số nguyên tố