![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
a. Xét hiệu $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab}\geq 0$ với mọi $a,b\in\mathbb{N}^*$
$\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$
Dấu "=" xảy ra khi $(a-b)^2=0$ hay $a=b$.
b.
Xét hiệu $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}$
$=\frac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}\geq 0$ với mọi $a,b\in\mathbb{N}^*$
$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$
Dấu "=" xảy ra khi $a-b=0$ hay $a=b$
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ta có:
\(\frac{1}{b^2}>\frac{1}{b}-\frac{1}{b+1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{b^2}>\frac{b+1-b}{b\left(b+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{b^2}>\frac{1}{b^2+b}\)(BĐT đúng)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ta có
a,\(\frac{a}{b}< 1\Leftrightarrow a< b\Leftrightarrow a+m< b+m\)
vì \(a+m< b+m\)
nên \(\frac{a+m}{b+m}< 1\)
b,Ta có \(a+b>1\Leftrightarrow a+m>b+m\)
Vì \(a+m>b+m\)
nên \(\frac{a+m}{b+m}>1\)
\(\frac{1}{b}-\frac{1}{b+1}=\frac{b+1-b}{b.\left(b+1\right)}=\frac{1}{b.\left(b+1\right)}=\frac{1}{b}.\frac{1}{b+1}\frac{1}{b^2}\)
Vậy \(\frac{1}{b}-\frac{1}{b+1}