Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Biến đổi vế 2 :
\(\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}+\frac{ab}{abc}\)( quy đồng )
\(=\frac{bc+ac+ab}{abc}\)
Ta có :
\(=\frac{\left(a+b+c\right)\left(bc+ac+ab\right)}{abc}\)
\(=\frac{abc+abc+abc}{abc}\)\(=3\)
→ ( a + b + c ) = 3
Ta có : 3 . 3 = 9 => ĐPCM
\(a)\)\(\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}\) ; \(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}\)
\(b)A=\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}+\frac{1}{90}+\frac{1}{110}+\frac{1}{132}\)
\(A=\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6\cdot7}+\frac{1}{7\cdot8}+\frac{1}{8\cdot9}+\frac{1}{9\cdot10}+\frac{1}{10\cdot11}+\frac{1}{11\cdot12}\)
\(=(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+(\frac{1}{6}-\frac{1}{7})+(\frac{1}{7}-\frac{1}{8})+(\frac{1}{8}-\frac{1}{9})+(\frac{1}{9}-\frac{1}{10})+(\frac{1}{10}-\frac{1}{11})+(\frac{1}{11}-\frac{1}{12})\)
\(=\frac{1}{5}-\frac{1}{12}=\frac{7}{60}\)
a) Ta có hiệu của chúng là:
\(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}\left(1\right)\)
Mặt khác, ta lại có tích của chúng là:
\(\frac{1}{n}.\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n}.\frac{1}{n+1}\)
Vậy tích của hai phân số này bằng hiệu của chúng (hiệu của phân số lớn trừ phân số nhỏ)
b) \(\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}+\frac{1}{90}+\frac{1}{110}+\frac{1}{132}\)
\(=\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+\frac{1}{7.8}+\frac{1}{8.9}+\frac{1}{9.10}+\frac{1}{10.11}+\frac{1}{11.12}\)
\(=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+....+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{12}\)
\(=\frac{1}{5}-\frac{1}{12}=\frac{7}{60}\)
Làm khâu rút gọn thôi
\(=\frac{15}{x+2}+\frac{42}{3x+6}\)
\(=\frac{15}{x+2}+\frac{42}{3\left(x+2\right)}\)
\(=\frac{3.15+42}{3\left(x+2\right)}\)
\(=\frac{87}{3\left(x+2\right)}\)
\(=\frac{29}{x+2}\)
Câu b có phải để tử chia hết cho mẫu không nhỉ? Không chắc thôi để ngkh làm
Ta có:
a+b-c/c = b+c-a/a = c+a-b/b
=>a+b-c/c + 2 = b+c-a/a +2 = c+a-b/b +2
=>a+b-c/c + 2c/c =b+c-a/a +2a/a = c+a-b/b +2/b
=>a+b+c/c = a+b+c/a =a+b+c/b
* Nếu a+b+c=0 thì a= 0-b-c= -(b+c)
b= 0-a-c= -(a+c)
c= 0-b-a= -(b+a)
Thay a= -(b+c) ; b=-(a+c);c=-(b+a) vào B ta được
B=(1+b/a)(1+a/c)(1+c/b)=(a/a + b/a )(c/c +a/c)(b/b+c/b)=(a+b)/a * (a+c)/c * (c+b)/b
=(-c)/a * (-b)/c * (-a)/b =-1
* Nếu a+b+c\(\ne\)0 thì a=b=c
Khi đó
B=(1+b/a)(1+a/c)(1+c/b)=(1+1)(1+1)(1+1)=2*2*2=8
Vậy B=-1 hoặc B=8
nhớ k nha bạn
\(S=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(S=\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}\)
\(S=1+\frac{c}{a+b}+1+\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}>3\)
Bài làm:
Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng cộng mẫu (bạn có thể tham khảo các tài liệu để biết cách chứng minh)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{1+a+1+b+1+c}=\frac{3^2}{3+a+b+c}\ge\frac{3^2}{3+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{1}{1+a}=\frac{1}{1+b}=\frac{1}{1+c}\Rightarrow a=b=c=1\)
Vậy Min biểu thức bằng \(\frac{3}{2}\)khi \(a=b=c=1\)
Chúc bạn học tốt!