K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 5 2021

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:

\((a+b)^2+\frac{a+b}{2}=(a+b)[(a+b)+\frac{1}{2}]\)

\(=(a+b)[(a+\frac{1}{4})+(b+\frac{1}{4})]\geq 2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})=2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{4}$

14 tháng 11 2016

Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

Từ đó ta có

\(\left(a+b\right)^2+\frac{a+b}{2}\ge4ab+\frac{a+b}{2}\)

Ta cần chứng minh 

\(4ab+\frac{a+b}{2}\ge2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)

\(\Leftrightarrow8ab+a+b-4a\sqrt{b}-4b\sqrt{a}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(4ab-4a\sqrt{b}+a\right)+\left(4ab-4b\sqrt{a}+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{ab}-\sqrt{a}\right)^2+\left(2\sqrt{ab}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(đúng)

\(\Rightarrow\)ĐPCM là đúng

NV
13 tháng 1

Bunhiacopxki:

\(\left(b+a+a\right)\left(b+c+\dfrac{c^2}{a}\right)\ge\left(b+\sqrt{ca}+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{2a^2+ab}{\left(b+\sqrt{ca}+c\right)^2}\ge\dfrac{2a^2+ab}{\left(2a+b\right)\left(b+c+\dfrac{c^2}{a}\right)}=\dfrac{a^2}{c^2+ab+bc}\)

Tương tự:

\(\dfrac{2b^2+bc}{\left(c+\sqrt{ca}+a\right)^2}\ge\dfrac{b^2}{a^2+ab+bc}\)

\(\dfrac{2c^2+ca}{\left(a+\sqrt{bc}+b\right)^2}\ge\dfrac{c^2}{b^2+ac+bc}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{a^2}{c^2+ab+ac}+\dfrac{b^2}{a^2+ab+bc}+\dfrac{c^2}{b^2+ac+bc}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Câu b : Ta có :

\(\left(a+b\right)^2+\dfrac{a+b}{2}=\left(a+b\right)\left(a+b+\dfrac{1}{2}\right)=\left(a+b\right)\left[\left(a+\dfrac{1}{4}\right)+\left(b+\dfrac{1}{4}\right)\right]\)

Áp dụng BĐT Cô - Si ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b\ge2\sqrt{ab}\\a+\dfrac{1}{4}\ge\sqrt{a}\\b+\dfrac{1}{4}\ge\sqrt{b}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow VT\ge2\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\) ( đpcm )

Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=-\dfrac{1}{4}\)

1 tháng 1 2019

Bạn làm giùm mình câu a với được không vậy

4 tháng 5 2016
  • ​đặt A=1+1/*2 +1/*3 +.....+1/*n 
  • Ta có (A+1)/2=(1+1+1/*2+1/*3+...+1/n)/2
  • (A+1)/2= 1+1/2*2+1/2*3+....+1/2*n
  • Thấy 1/2*2<1/*2+*1.    1/2*3<1/*3+*2.......
  • => (A+1)/2 < 1+1/*2+*1+1/*3+*4+.......+1/*n+*(n-1)
  • Trục căn thức ta đc (A+1)/2<*n chuyển vế => A<2*n-1
  • Bạn viết ra giấy thay dấu * bằng căn là khác hiểu :))
7 tháng 5 2016

Cảm ơn bạn nhiều

6 tháng 11 2022

6 tháng 11 2022

26 tháng 8 2021

`sqrta+sqrtb+sqrtc=2`

`<=>(sqrta+sqrtb+sqrtc)^2=4`

`<=>a+b+c+2sqrt{ab}+2sqrt{bc}+2sqrt{ca}=4`

`<=>2sqrt{ab}+2sqrt{bc}+2sqrt{ca}=4-(a+b+c)=4-2-2`

`<=>sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}=1`

`=>a+1=a+sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}=sqrta(sqrta+sqrtb)+sqrtc(sqrta+sqrtb)=(sqrta+sqrtb)(sqrta+sqrtc)`

Tương tự:`b+1=(sqrtb+sqrta)(sqrtb+sqrtc)`

`c+1=(sqrtc+sqrta)(sqrtc+sqrtb)`

`=>VT=sqrta/((sqrta+sqrtb)(sqrta+sqrtc))+sqrtb/((sqrtb+sqrta)(sqrtb+sqrtc))+sqrtc/((sqrtc+sqrta)(sqrtc+sqrtb))`

`=>VT=(sqrta(sqrtb+sqrtc)+sqrtb(sqrtc+sqrta)+sqrtc(sqrta+sqrtb))/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`

`=(sqrt{ab}+sqrt{ac}+sqrt{bc}+sqrt{ab}+sqrt{ac}+sqrt{bc})/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`

`=(2(sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}))/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`

`=2/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`

`=2/\sqrt{[(sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta)]^2}`

`=2/\sqrt{(sqrta+sqrtb)(sqrta+sqrtc)(sqrtb+sqrta)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta)(sqrtc+sqrtb)}`

`=2/\sqrt{(1+a)(1+b)(1+c)}=>đpcm`

26 tháng 8 2021

a ơi giả thiết là a+b+c=\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)=2 nhé a