a, Giải phương trình: 2$\left(x-\sqrt{2x^2+5x-3}\right)=1+x\left(\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x+3}\right)$b, Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a,b,c=1Chứng minh rằng:\(\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c...

a, Giải phương trình: 2$\left(x-\sqrt{2x^2+5x-3}\right)=1+x\left(\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x+3}\right)$b, Cho ba số thực dươn...

TC

Thầy Cao Đô

Giáo viên VIP

8 tháng 4 2021

1. Giải phương trình $\sqrt2.\sqrt{2x^2 + x + 1} - \sqrt{4x-1} + 2x^2+3x-3 = 0$.

2. Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab+bc+ca = 3.$ Chứng minh

$\dfrac{a^3}{b+2c} + \dfrac{b^3}{c+2a} + \dfrac{c^3}{a+2b} \ge 1.$

#Toán lớp 9

22

NH

Nguyễn Huy Tú

8 tháng 4 2021

b, $\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b}\ge1$

$\frac{a^4}{ab+2ac}+\frac{b^4}{bc+2ab}+\frac{c^4}{ac+2bc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac+2ac+2ab+2bc}$( Bunhia dạng phân thức )

mà $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac$

$=\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{3+2\left(ab+ac+bc\right)}=\frac{9}{3+6}=1$( đpcm )

Đúng(0)

NA

Nguyễn Anh Tài

9 tháng 5 2021

1.

Điều kiện $\ge \dfrac14$ .

Phương trình tương đương với $\left(\sqrt2.\sqrt{2x^2+x+1}-2\right)-\left(\sqrt{4x-1}-1\right)+2x^2+3x-2 = 0$ $\Leftrightarrow \dfrac{4x^2+2x-2}{\sqrt2.\sqrt{2x^2+x+1}+2} - \dfrac{4x-2}{\sqrt{4x-1}+1} + (x+2)(2x-1) = 0$ \\ $\Leftrightarrow (2x-1)\left(\dfrac{2(x+1)}{\sqrt2 \sqrt{2x^2+x+1}+2} - \dfrac2{\sqrt{4x-1}+1} + x + 2\right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x =\dfrac12\\ & \dfrac{2(x+1)}{\sqrt2 \sqrt{2x^2+x+1}+2} - \dfrac2{\sqrt{4x-1}+1} + x + 2 = 0\\ \end{aligned}\right.$

Với $\ge \dfrac14$ ta có:

$\dfrac{2(x+1)}{\sqrt2 \sqrt{2x^2+x+1}+2} > 0$

$\dfrac2{\sqrt{4x-1}+1} \ge -2$

$x + 2 > 2$ .

Suy ra $\dfrac{2(x+1)}{\sqrt2 \sqrt{2x^2+x+1}+2} - \dfrac2{\sqrt{4x-1}+1} + x + 2 > 0$ .

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $\dfrac12.$

2.

Đặt $\dfrac{a^3}{b+2c} + \dfrac{b^3}{c+2a} + \dfrac{c^3}{a+2b}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $\dfrac{9a^3}{b + 2c}$ và $(b + 2 c) a$ ta có

$\dfrac{9a^3}{b+2c} + (b+2c)a \ge 6a^2$ .

Tương tự $\dfrac{9b^3}{c+2a} + (c+2a)b \ge 6b^2$ , $\dfrac{9c^3}{a+2b} + (a+2b)c \ge 6c^2$ .

Cộng các vế ta có $\ge 6(a^2+b^2+c^2)$ .

Mà $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca = 4$ nên $\ge 1$ (ta có đpcm).

Đúng(0)

VN

VUX NA

25 tháng 8 2021

Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1

Chứng minh rằng : $\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}$ ≤ $\dfrac{1}{2}$

#Toán lớp 9

1

RH

Rin Huỳnh

29 tháng 5 2022

$Áp\ dụng\ BĐT\ AM - GM,\ ta\ có: \\\sum\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}=\sum\dfrac{1}{(a^2+b^2)+(b^2+1)+2}\le\sum\dfrac{1}{2ab+2b+2} \\=\dfrac{1}{2}\sum\dfrac{1}{ab+b+1}=\dfrac{1}{2}.1=\dfrac{1}{2} \\Đẳng\ thức\ xảy\ ra\ khi\ a=b=c=1.$

Đúng(1)

DP

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG

23 tháng 12 2018

Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn : $7\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=6\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+2015$

Tìm GTLN của biểu thức $P=\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}$

#Toán lớp 9

2

NH

Nguyễn Huy Thắng

24 tháng 12 2018

bai nay t lam roi vao trang chu cua nick thangbnsh cua t keo xuong tim la thay

Đúng(0)

NH

Nguyễn Huy Thắng

24 tháng 12 2018

Câu hỏi của Tuyển Trần Thị - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Đúng(0)

I

ILoveMath

3 tháng 10 2021

Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn: $3\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)-2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)=404$

Tìm MaxP $=\dfrac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}$

#Toán lớp 9

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

3 tháng 10 2021

$404=3\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)-2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)\ge\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2-\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2$

$\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\le1212\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le2\sqrt{303}$

Ta có:

$5a^2+2ab+2b^2=\left(a-b\right)^2+\left(2a+b\right)^2\ge\left(2a+b\right)^2$

$\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{2b+c}+\dfrac{1}{2c+a}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{c}+\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\le\dfrac{2\sqrt{303}}{3}$

Đúng(3)

DT

Đào Thu Hoà

14 tháng 6 2019

1)Giải phương trình: $\left(3x+1\right)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac{3}{2}x-3.$2)Cho các số thực x, y thỏa mãn $x^2+y^2=1$Tìm GTNN và GTLN của biểu thức :$T=\sqrt{4+5x}+\sqrt{4+5y}.$3)Cho các số thực dương a,b,c . Chứng minh rằng $\frac{b\left(2a-b\right)}{a\left(b+c\right)}+\frac{c\left(2b-c\right)}{b\left(c+a\right)}+\frac{a\left(2c-a\right)}{c\left(a+b\right)}\le\frac{3}{2}.$Đề của trường ^^. mn giúp tui ,nhất là câu 2 tìm...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

4

TT

Thanh Tùng DZ

14 tháng 6 2019

$\frac{b\left(2a-b\right)}{a\left(b+c\right)}+\frac{c\left(2b-c\right)}{b\left(c+a\right)}+\frac{a\left(2c-a\right)}{c\left(a+b\right)}\le\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow\left[2-\frac{b\left(2a-b\right)}{a\left(b+c\right)}\right]+\left[2-\frac{c\left(2b-c\right)}{b\left(c+a\right)}\right]+\left[2-\frac{a\left(2c-a\right)}{c\left(a+b\right)}\right]\ge\frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow\frac{b^2+2ca}{a\left(b+c\right)}+\frac{c^2+2ab}{b\left(c+a\right)}+\frac{a^2+2bc}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{9}{2}$

Áp dụng BĐT Schwarz, ta có :

$\frac{b^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{c^2}{b\left(c+a\right)}+\frac{a^2}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}$( 1 )

$\frac{ac}{a\left(b+c\right)}+\frac{ab}{b\left(c+a\right)}+\frac{bc}{c\left(a+b\right)}=\frac{c^2}{c\left(b+c\right)}+\frac{a^2}{a\left(a+c\right)}+\frac{b^2}{b\left(a+b\right)}$ ( 2 )

$\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}$

Cộng ( 1 ) với ( 2 ), ta được :

$\frac{b^2+2ca}{a\left(b+c\right)}+\frac{c^2+2ab}{b\left(c+a\right)}+\frac{a^2+2bc}{c\left(a+b\right)}$

$\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{2\left(ab+bc+ac\right)}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}\right)$

$\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{\left(1+2\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)+2\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\right)}\right)=\frac{9}{2}$

Đúng(0)

TT

Thanh Tùng DZ

14 tháng 6 2019

không biết cách này ổn không

Ta có : $\frac{b\left(2a-b\right)}{a\left(b+c\right)}=\frac{2-\frac{b}{a}}{\frac{c}{b}+1}$ ; tương tự :...

đặt $\frac{a}{c}=x;\frac{b}{a}=y;\frac{c}{b}=z\Rightarrow xyz=1$

$\Sigma\frac{2-y}{z+1}\le\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow2\Sigma xy^2+2\Sigma x^2+\Sigma xy\ge3\Sigma x+6$( quy đồng khử mẫu )

$\Leftrightarrow\Sigma\frac{x}{y}\ge\Sigma x$( xyz = 1 ) ( luôn đúng )

$\Rightarrowđpcm$

Đúng(0)

C

Ctuu

14 tháng 3 2022

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn:

$7\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=6\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\right)+2021$

Tìm giá trị lớn nhất của P=$\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}$

#Toán lớp 9

2

NV

Người Vô Danh

14 tháng 3 2022

ko biết mk làm có đúng ko nhma có gì sai thì đừng trách mk nhé

$7\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge\dfrac{63}{a^2+b^2+c^2}$

$6\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{a}{ac}\right)+2021\ge\dfrac{54}{ab+bc+ac}+2021\ge\dfrac{54}{a^2+b^2+c^2}+2021$

<=>$\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{2021}{9}$

$p^2=\left(\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\right)^2$

áp dụng bđt $a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2$

$p^2\le3.\left(\dfrac{1}{3\left(2a^2+b^2\right)}+\dfrac{1}{3\left(2b^2+c^2\right)}+\dfrac{1}{3\left(2c^2+a^2\right)}\right)=\dfrac{1}{2a^2+b^2}+\dfrac{1}{2b^2+c^2}+\dfrac{1}{2c^2+a^2}$

$< =>p^2\le\dfrac{9}{2a^2+b^2+2b^2+c^2+2c^2+a^2}$

<=> $p^2\le3.\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{2021}{3}< =>p\le\sqrt{\dfrac{2021}{3}}$

dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{\dfrac{3}{2021}}$

Đúng(0)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

15 tháng 3 2022

$7\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=6\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\right)+2021\le6\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)+2021$

$\Rightarrow2021\ge\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2$

$\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le\sqrt{2021.3}=\sqrt{6063}$

Từ đó:

$\sqrt{3\left(2a^2+b\right)}=\sqrt{\left(2+1\right)\left(2a^2+b^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a+b\right)^2}=2a+b$

$\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}\le\dfrac{1}{2a+b}=\dfrac{1}{a+a+b}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}\right)$

Tương tự: $\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}\right)$ ; $\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2}{c}+\dfrac{1}{a}\right)$

Cộng vế:

$\Rightarrow P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{3}{c}\right)=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\le\dfrac{\sqrt{6063}}{3}$

$P_{max}=\dfrac{\sqrt{6063}}{3}$ khi $a=b=c=\dfrac{3}{\sqrt{6063}}$

Đúng(2)

TC

Thầy Cao Đô

Giáo viên VIP

8 tháng 5 2022

(1,0 điểm) 1. Giải phương trình $4x+1-\sqrt{9\left( 2x-1 \right)\left( x+1 \right)}+2\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x+1}=0$ (1).

2. Cho các số thực dương $a,$ $b,$ $c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{2021}{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}+\sqrt{ac}}-\dfrac{b\sqrt{a}}{1+b}-\dfrac{c\sqrt{b}}{1+c}-\dfrac{a\sqrt{c}}{1+a}$.

#Toán lớp 9

0

DH

dinh huong

24 tháng 8 2021

Cho các số thực dương a,b,c thay đổi thỏa mãn $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=3$
Tìm GTLN của P=$\dfrac{1}{\left(2a+b+c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(2b+c+a\right)^2}+\dfrac{1}{\left(2c+a+b\right)^2}$

#Toán lớp 9

2

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

24 tháng 8 2021

$\dfrac{1}{\left(a+b+a+c\right)^2}\le\dfrac{1}{4\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\dfrac{1}{4\left(a^2+ab+bc+ca\right)}\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)$

$\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{2}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)$

Tương tự và cộng lại:

$P\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{4}{b^2}+\dfrac{4}{c^2}\right)=\dfrac{1}{16}.3=\dfrac{3}{16}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Đúng(5)

LL

Lấp La Lấp Lánh

24 tháng 8 2021

Áp dụng bđt: $\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(1\right)$

$\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)$

$\Rightarrow P\le\dfrac{1}{16}\left[\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)^2+\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\right)^2+\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)^2\right]$$\Rightarrow16P\le\dfrac{2}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{2}{\left(b+c\right)^2}+\dfrac{2}{\left(a+c\right)^2}+\dfrac{2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{2}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}$

Áp dụng: $x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\left(2\right)$ với a+b=x,b+c=y,c+a=z

$\Rightarrow16P\le\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{4}{\left(b+c\right)^2}+\dfrac{4}{\left(c+a\right)^2}$

Ta có: $\dfrac{1}{\left(a+b\right)^2}\le4.16.\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2$(do (1))

$\Rightarrow16P\le\dfrac{1}{4}.16\left[\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2+\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2+\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)^2\right]=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ca}\right)\le\dfrac{1}{4}.4.\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=3$(do(2) và $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=3$)

$\Rightarrow P\le\dfrac{3}{16}$

$ĐTXR\Leftrightarrow a=b=c=1$

Đúng(0)

NV

Người Vô Danh

9 tháng 5 2022

1.Cho 3 số thực dương a,b,c Tìm giá trị nhỏ nhất của
$\dfrac{1}{\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\left(a+c\right)}-\dfrac{2}{5\sqrt{a+b+c}}$

2.Cho 3 sô thực dương thỏa mãn 6a+3b+2a=abc

Tìm giá trị lớn nhất của Q = $\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{2}{\sqrt{b^2+4}}+\dfrac{3}{\sqrt{c^2+9}}$

#Toán lớp 9

0

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP