![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
A) \(A^2+B^2\ge2AB\Leftrightarrow\left(A-B\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
B)\(A^2B=A\cdot A\cdot B;AB^2=A\cdot B\cdot B\)
áp dụng BĐT AM-GM
\(A\cdot A\cdot B\le\dfrac{A^3+A^3+B^3}{3};A\cdot B\cdot B\le\dfrac{A^3+B^3+B^3}{3}\)
cộng 2 vế của BĐT cho nhau
\(\Rightarrow A^2B+AB^2\le A^3+B^3\left(đpcm\right)\)
C)tương tự câu B) ta có
\(A^3B\le\dfrac{A^4+A^4+A^4+B}{4};AB^3\le\dfrac{A^4+B^4+B^4+B^{\text{4}}}{4}\)
cộng từng vế của BĐT ta có đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(\ge\left(a+b\right)\left(2\sqrt{a^2b^2}-ab\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)\)
\(=ab\left(a+b\right)=a^2b+ab^2=VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
A)\(A^2+B^2\ge AB+AB\)
\(\Leftrightarrow\)\(A^2+B^2\ge2AB\)
\(\Leftrightarrow A^2-2AB+B^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(A+B\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vậy \(A^2+B^2\ge AB+AB\)(đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\(a^3b^2-a^2b^3+b^3c^2-c^3b^2+c^3a^2-c^2a^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)+b^2c^2\left(b-c\right)+c^2a^2\left(c-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)+b^2c^2\left(b-c\right)+c^2a^2\left(c-b+b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)+c^2a^2\left(b-a\right)+b^2c^2\left(b-c\right)+c^2a^2\left(c-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-c^2a^2\right)\left(a-b\right)+\left(b^2c^2-c^2a^2\right)\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(b^2-c^2\right)\left(a-b\right)+c^2\left(b^2-a^2\right)\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[a^2\left(b+c\right)-c^2\left(a+b\right)\right]\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b+a^2c-c^2a-c^2b\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[a\left(ab-c^2\right)+c\left(a^2-bc\right)\right]\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\) luôn đúng do \(a\ge b\ge c\ge0\)
cảm ơn bạn nhá, bạn trả lời giúp mình mấy câu hỏi về BĐT còn lại của mik đc ko? cảm ơn bn nhiều!
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a)\(\left(a-2b\right)^2+\left(2a-b\right)^2\ge a^2+b^2\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2-b^2+\left(2a-b\right)^2-a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-3b\right)+\left(a-b\right)\left(3a-b\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(4a-4b\right)\ge0\Leftrightarrow4\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Dấu = xảy ra khi a=b
b) \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+3\ge4a+4b+4c\)
\(\Leftrightarrow\left(\left(2a\right)^2-4a+1\right)+\left(\left(2b\right)^2-4b+1\right)+\left(\left(2c\right)^2-4c+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-1\right)^2+\left(2b-1\right)^2+\left(2c-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1/2
c)\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Dấu = xảy ra khi a=b=c
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a.
\(\Leftrightarrow2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\ge2abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-2a^2bc+c^2a^2\right)+\left(a^2b^2-2ab^2c+b^2c^2\right)+\left(b^2c^2-2abc^2+a^2c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-ca\right)^2+\left(ab-bc\right)^2+\left(bc-ca\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
b.
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\) (đúng theo câu a đã chứng minh)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1.
\(P=\frac{a^4}{abc}+\frac{b^4}{abc}+\frac{c^4}{abc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3abc}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)}{3abc\left(a+b+c\right)}\)
\(P\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right).3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}}{3abc\left(a+b+c\right)}=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)
Dấu "=" khi \(a=b=c\)
2.
\(P=\sum\frac{a^2}{ab+2ac+3ad}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4.\frac{3}{8}\left(a+b+c+d\right)^2}=\frac{2}{3}\)
Dấu "=" khi \(a=b=c=d\)
<=>\(a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)\)>=0
<=>\(\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\)>=0
<=>\(\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\)>=0
Vì \(\left(a-b\right)^2\)>=0
<=>\(\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\)>=0 (đpcm)
Vì \(a,b\ge0\)nên
+ \(a+b\ge0\)(1)
+ \(\left(a-b\right)^2\ge0\)(2)
Nhân vế với vế của 1 và 2 , ta được :
\(\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab-ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab.\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)