cho a>0. Chứng minh BĐT 4a\(^3\)+\(\frac{1}{a}\)\(\ge\)4a

K

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Chọn lớp

Chọn môn

Mua vip

HN

Hoàng Ngọc Như

25 tháng 3 2020

cho a>0. Chứng minh BĐT 4a\(^3\)+\(\frac{1}{a}\)\(\ge\)4a

#Toán lớp 10

1

TN

Thiện Nguyễn

25 tháng 3 2020

https://i.imgur.com/YeWSpFU.jpg

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

NT

Nguyễn Thảo Hân

15 tháng 12 2019

cho a,b>0. chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

áp dụng chứng minh bđt sau:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)vớia,b,c>0\)

#Toán lớp 10

0

I

Incursion_03

10 tháng 7 2019

Cho a,b,c > 0 thỏa ab + bc + ca = 1

CMR \(\Sigma\frac{1}{4a^2-bc+1}\ge\frac{3}{2}\)

#Toán lớp 10

0

QA

Quỳnh Anh

17 tháng 1 2021

Cho a,b > 0. Chứng minh:

\(a^3+\dfrac{b^3}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}\ge a+\dfrac{b}{a}+\dfrac{1}{b}\)

Sử dụng các BĐT quen thuộc

#Toán lớp 10

1

TM

Trần Minh Hoàng

17 tháng 1 2021

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

\(a^3+1+1\ge3a\);

\(\dfrac{b^3}{a^3}+1+1\ge3.\dfrac{b}{a}\);

\(\dfrac{1}{b^3}+1+1\ge3.\dfrac{1}{b}\);

\(2a+2.\dfrac{b}{a}+2.\dfrac{1}{b}\ge6\).

Cộng vế với vế các bđt trên rồi rút gọn ta có đpcm.

TN

Tú Nguyễn

13 tháng 2 2020

Cho a,b,c>0 chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

a) \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

b) Cho x,y,z>0 tm x+y+z=1. Tìm GTLN của bt \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)

#Toán lớp 10

1

T

tthnew

13 tháng 2 2020

Mấy cái dấu "=" anh tự xét.

Áp dụng BĐT AM-GM: \(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{\frac{a+b+c}{3}}=\frac{9}{a+b+c}\)

a) Áp dụng: \(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}.\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

b) \(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{3}{4}\)

NA

Ngọc Ánh

9 tháng 11 2016

Áp BĐT Cô-si1. Cho a,b,c \(\ge\) 0. Chứng minh các BĐT sau a. \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\) b. \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\) c. \(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{c}{c+a}\le\frac{a+b+c}{2}\) d....

#Toán lớp 10

3

HL

Hoàng Lê Bảo Ngọc

9 tháng 11 2016

d/ Đặt \(x=a+b\) , \(y=b+c\) , \(z=c+a\)

thì : \(a=\frac{x+z-y}{2}\) ; \(b=\frac{x+y-z}{2}\) ; \(c=\frac{y+z-x}{2}\)

Ta có : \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{\frac{x+z-y}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y-z}{2}}{z}+\frac{\frac{y+z-x}{2}}{x}\)

\(=\frac{z+x-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}+\frac{y+z-x}{2x}=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}-3\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{1}{2}.6-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

HL

Hoàng Lê Bảo Ngọc

9 tháng 11 2016

b/ \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-2abc+c^2\right)+\left(b^2c^2-2abc+a^2\right)+\left(c^2a^2-2abc+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-c\right)^2+\left(bc-a\right)^2+\left(ca-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy bđt ban đầu dc chứng minh.

NA

Ngọc Ánh

10 tháng 11 2016

Áp dụng BĐT Cô-si

Cho a,b,c\(\ge0\). Chứng minh các BĐT sau

a. \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)

b. \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c,vớia,b,c\ge0\)

#Toán lớp 10

2

LF

Lightning Farron

10 tháng 11 2016

a)Áp dụng Bđt Cô si ta có:

\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

Cộng theo vế 2 bđt trên ta có:

\(3\ge\frac{3\left(\sqrt[3]{abc}+1\right)}{\sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)

Dấu = khi a=b=c

b)Áp dụng Bđt Cô-si ta có:

\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc^2a}{ab}}=2c\)

\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca^2b}{bc}}=2a\)

\(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{b^2ac}{ac}}=2b\)

Cộng theo vế 3 bđt trên ta có:

\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)

Đấu = khí a=b=c

LF

Lightning Farron

10 tháng 11 2016

bn sử đấu = khí là dấu = khi nhé

TT

trần trang

16 tháng 11 2019

Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

a) \(\left(a+\frac{4b}{c^2}\right)\left(b+\frac{4c}{a^2}\right)\left(c+\frac{4a}{b^2}\right)\ge64\)

b) \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)

#Toán lớp 10

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

16 tháng 11 2019

\(\left(a+\frac{4b}{c^2}\right)\left(b+\frac{4c}{a^2}\right)\left(c+\frac{4a}{b^2}\right)\ge2\sqrt{\frac{4ab}{c^2}}.2\sqrt{\frac{4bc}{a^2}}.2\sqrt{\frac{4ac}{b^2}}=64\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

\(\frac{a^3}{b}+ab\ge2a^2\) ; \(\frac{b^3}{c}+bc\ge2b^2\); \(\frac{c^3}{a}+ac\ge2c^2\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)-\left(ab+bc+ca\right)=ab+bc+ca\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

TT

trần trang

7 tháng 11 2019

Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Côsi:

1) \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\) (a, b, c ≥ 0)

2) \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\ge8\) (a, b, c > 0)

c) \(\left(a+2\right)\left(b+8\right)\left(a+b\right)\ge32ab\) (a, b ≥ 0)

#Toán lớp 10

1

QH

Quang Huy Điền

8 tháng 11 2019

1 ) \(â+b\ge2\sqrt{ab}\)

Tương tự : \(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)

Nhân vế theo vế của 3 bpt dc dpcm

Dấu = xảy ra khi a = b = c

2) Nhân 2 vế bpt vs abc

Cm như 1)

3) \(a+2\ge2\sqrt{2a}\)

\(b+8\ge2\sqrt{8b}\)

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Nhân vế theo vế của 3 bpt dc dpcm

Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=8\\a=b\end{matrix}\right.\) (vô lí)

nên k xảy ra đẳng thức

1

123445566

27 tháng 6 2020

cho a,b >0 , a+b=4ab

CMR:\(\frac{a}{4b^2+1}\)+\(\frac{b}{4a^2+1}\)≥\(\frac{1}{2}\)

#Toán lớp 10

1

HK

Hanako-kun

27 tháng 6 2020

\(a+b=4ab\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4\Rightarrow4\ge\frac{4}{a+b}\Rightarrow a+b\ge1\)

\(\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}=\frac{a\left(4b^2+1\right)-4ab^2}{4b^2+1}+\frac{b\left(4a^2+1\right)-4a^2b}{4a^2+1}\)

\(=a-\frac{4ab^2}{4b^2+1}+b-\frac{4a^2b}{4a^2+1}\)

\(=a+b-\left(\frac{ab^2}{4b^2+1}+\frac{4a^2b}{4a^2+1}\right)\)

\(\ge a+b-\left(\frac{4ab^2}{4b}+\frac{4a^2b}{4a}\right)=a+b-2ab\)

Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow-\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\le-2ab\)

\(\Rightarrow a+b-2ab\ge a+b-\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

\("="\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)