K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 2 2021

Lời giải:Vì $f(x)\geq 0$ nên $\Delta=b^2-4ac\leq 0$

$\Leftrightarrow 4ac\geq b^2$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$Q=\frac{4a+c}{b}\geq \frac{4\sqrt{ac}}{b}\geq \frac{4\sqrt{b^2}}{b}=\frac{4b}{b}=4$

Vậy $Q_{\min}=4$

NV
14 tháng 2 2020

\(\Delta=b^2-4ac\le0\Rightarrow b^2\le4ac\Rightarrow\frac{a}{b}.\frac{c}{b}\ge\frac{1}{4}\)

Đặt \(\left(\frac{a}{b};\frac{c}{b}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow xy\ge\frac{1}{4}\)

\(F=4x+y\ge4\sqrt{xy}\ge4\sqrt{\frac{1}{4}}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{4}\\y=1\end{matrix}\right.\) hay \(b=c=4a\)

NV
21 tháng 4 2021

\(f\left(x\right)\ge0\) ;\(\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow\Delta'=4b^2-ac\le0\)

\(\Leftrightarrow ac\ge4b^2\Rightarrow\sqrt{ac}\ge2b\)

\(F=\dfrac{a+c}{b}\ge\dfrac{2\sqrt{ac}}{b}\ge\dfrac{2.2b}{b}=4\)

\(F_{min}=4\) khi \(a=c=2b\)

NV
25 tháng 2 2021

Với \(c=0\Rightarrow f\left(x\right)=0\) có nghiệm \(x=0\) (loại)

TH1: \(a;c\) trái dấu 

Xét pt \(f\left(x\right)=0\Leftrightarrow a\left(ax^2+bx+c\right)^2+b\left(ax^2+bx+c\right)+c=0\)

Đặt \(ax^2+bx+c=t\) \(\Rightarrow at^2+bt+c=0\) (1)

Do a; c trái dấu \(\Leftrightarrow\) (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Không mất tính tổng quát, giả sử \(t_1< 0< t_2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c=t_1\\ax^2+bx+c=t_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c-t_1=0\left(2\right)\\ax^2+bx+c-t_2=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Mà a; c trái dấu nên:

- Nếu \(a>0\Rightarrow c< 0\Rightarrow c-t_2< 0\Rightarrow a\left(c-t_2\right)< 0\)

\(\Rightarrow\) (3) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)

- Nếu \(a< 0\Rightarrow c>0\Rightarrow c-t_1>0\Rightarrow a\left(c-t_1\right)< 0\)

\(\Rightarrow\left(2\right)\) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)

Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) luôn có nghiệm khi a; c trái dấu

\(\Rightarrow\)Để \(f\left(x\right)=0\) vô nghiệm thì điều kiện cần là \(a;c\) cùng dấu \(\Leftrightarrow ac>0\)

Khi đó xét \(g\left(x\right)=0\) có \(a.\left(-c\right)< 0\Rightarrow g\left(x\right)=0\) luôn có 2 nghiệm trái dấu (đpcm)

30 tháng 11 2017

sky oi say oh yeah

14 tháng 4 2017

Lời giải

a) c/m \(f\left(x\right)=x^2-ax-3bc+\dfrac{a^2}{3}>0\forall x\)

\(\Delta_{x_{a,b,c}}=a^2+12bc-\dfrac{4}{3}a^2=\dfrac{-a^2+36bc}{3}\)

\(\Delta=\dfrac{-a^3+36}{3a}\)

\(a^3>36\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\-a^3+36< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{-36a^3+36}{3a}< 0\)

\(\Rightarrow\) F(x) vô nghiệm => f(x)>0 với x => dpcm

b)

\(\dfrac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca\)\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{3}+b^2+c^2-ab-bc-ac>0\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2-a\left(b+c\right)-3bc+\dfrac{a^2}{3}>0\)

Từ (a) =>\(f\left(b+c\right)=\left(b+c\right)^2-a\left(b+c\right)-3bc+\dfrac{a^2}{3}>0\) => dccm