Question

[Đinh Đức Hùng]

Cho 3 số x,y,z thoả mãn : x+y+z=3 . Tính Max của xy + yz + xz ? 

Answer 1

[Ngu Ngu Ngu]

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta có:

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(y^2+z^2+x^2\right)\ge\left(xy+yz+xz\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge\left|xy+yz+xz\right|\ge xy+yz+xz\left(1\right)\)

Mặt khác:

\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=9-2\left(xy+yz+xz\right)\)

Kết hợp với \(\left(1\right)\Rightarrow9-2\left(xy+yz+xz\right)\ge xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow3\left(xy+yz+xz\right)\le9\Leftrightarrow xy+yz+xz\le3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}\\x+y+z=3\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Vậy \(Max\) biểu thức là \(3\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Answer 2

[Đức Phạm]

Với \(x,y,z\)ta có :

\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2>=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz\ge=0\)

\(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\ge=0\)

\(\left(y+x+z\right)^2\ge=3\left(x+y+z\right)\)

\(\frac{\left[\left(x+y+z\right)^2\right]}{3}\ge=xy+zx+yz\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx\le=3\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z=1\)