\(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}=1\Leftrightarrow\)\(\frac{mn+np+mp}{mnp}=1\Leftrightarrow mn+np+mp=mnp\)

Ta có: \(am^3=bn^3=cp^3\Leftrightarrow\)\(\sqrt[3]{am^3}=\sqrt[3]{bn^3}=\sqrt[3]{cp^3}\)\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{a}m=\sqrt[3]{b}n=\sqrt[3]{c}p\)

\(\frac{\sqrt[3]{a}m}{mnp}=\frac{\sqrt[3]{b}n}{mnp}=\frac{\sqrt[3]{c}p}{mnp}\Leftrightarrow\)\(\frac{\sqrt[3]{a}}{np}=\frac{\sqrt[3]{b}}{mp}=\frac{\sqrt[3]{c}}{mn}\Leftrightarrow\)\(\frac{\sqrt[3]{a}}{np}=\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{mn+np+mp}\Leftrightarrow\)\(\frac{\sqrt[3]{a}}{np}=\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{mnp}\Leftrightarrow\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{a}m\)

Mặt khác: \(am^3=bn^3=cp^3\Leftrightarrow\)\(\frac{am^3}{mnp}=\frac{bn^3}{mnp}=\frac{cp^3}{mnp}\Leftrightarrow\)\(\frac{am^2}{np}=\frac{bn^2}{mp}=\frac{cp^2}{mn}\Leftrightarrow\)

\(\frac{am^2}{np}=\frac{am^2+bn^2+cp^2}{mn+np+mp}=\frac{am^2+bn^2+cp^2}{mnp}\)\(\Leftrightarrow am^2+bn^2+cp^2=am^3\Leftrightarrow\sqrt[3]{am^2+bn^2+cp^2}=\sqrt[3]{a}m\)

Vậy =>dpcm

Trần Thị Hoa làm sai.

Đặt  \(\frac{1}{x}=a\) suy ra  \(3x^2=\frac{3}{a^2}\) và  \(\frac{2}{x^3}=2a^3\). Vì x>0 . Do đó ta áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương ta được:

\(\frac{3}{a^2}+3a+3a\ge3\sqrt[3]{\frac{3}{a^2}.3a.3a}=3.\sqrt[3]{27}=9\Rightarrow\frac{3}{a^2}\ge9-6a\)

\(2a^3+2+2\ge3\sqrt[3]{2a^3.2.2}=6a\Rightarrow2a^3\ge6a-4\)

Ta có \(Q=3x^2+\frac{2}{x^3}=\frac{3}{a^2}+2a^3\ge9-6a+6a-4=5\)

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi  \(\frac{3}{a^2}=3a\)  và  \(2a^3=2\)   \(\Leftrightarrow a^3=1\Leftrightarrow a=1\)   (vì x > 0 nên a > 0)  \(\Leftrightarrow\frac{1}{x}=1\Leftrightarrow x=1\).

Vậy min Q = 5 khi và chỉ khi x = 1 

Trả lời: pt<=> \(x^2+\frac{x^2}{\left(x+1\right)^2}-2\frac{x^2}{\left(x+1\right)}+2\frac{x^2}{\left(x+1\right)}=3\Leftrightarrow\left(x-\frac{x}{x+1}\right)^2+2\frac{x^2}{x+1}=3\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{x+1}\right)^2+2\frac{x^2}{x+1}-3=0\)

Đặt \(a=\frac{x^2}{\left(x+1\right)}\) thì pt<=> \(a^2+2a-3=0\)

nên a=3 hoặc a=-1

GPT còn lại tìm ra nghiệm ngay mà

Với hàm số y = ax + b (a khác 0) thì hàm số nghịch biến trên tập hợp R khi a < 0. Vì \(-\frac{2}{5}

\(\left(\sqrt{ab}+a\right)\left(\sqrt{ab}-a\right)=\left(\sqrt{ab}+a\right)\sqrt{ab}-\left(\sqrt{ab}+a\right)a\)

\(=\sqrt{ab}.\sqrt{ab}+a.\sqrt{ab}-a.\sqrt{ab}-a.a\)

\(=ab-a^2\)