a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

\(\widehat{HBA}\) chung

Do đó: ΔHBA~ΔABC

b: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

ΔHBA~ΔABC

=>\(\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{HB}{AB}\left(1\right)\)

ΔHBA~ΔABC

=>\(\dfrac{HA}{AC}=\dfrac{BA}{BC}\) 

=>\(HA=\dfrac{3\cdot4}{5}=2,4\left(cm\right)\)

c: Xét ΔABC có BN là phân giác

nên \(\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{NA}{NC}\left(2\right)\)

Xét ΔBHA có BM là phân giác

nên \(\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{MH}{MA}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{NA}{NC}=\dfrac{MH}{MA}\)

=>\(MA\cdot NA=MH\cdot NC\)

x+y+z=1

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1-z\\y+z=1-x\\x+z=1-y\end{matrix}\right.\)

\(P=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\left(xy+z\right)}\cdot\dfrac{\left(y+z\right)^2}{yz+x}\cdot\dfrac{\left(z+x\right)^2}{zx+y}\)

\(=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\left(xy+1-x-y\right)}\cdot\dfrac{\left(y+z\right)^2}{\left(yz+1-y-z\right)}\cdot\dfrac{\left(x+z\right)^2}{zx+1-x-z}\)

\(=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\left[x\left(y-1\right)-\left(y-1\right)\right]}\cdot\dfrac{\left(y+z\right)^2}{\left[y\left(z-1\right)-\left(z-1\right)\right]}\cdot\dfrac{\left(x+z\right)^2}{\left[z\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\right]}\)

\(=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\left(y-1\right)\left(x-1\right)}\cdot\dfrac{\left(y+z\right)^2}{\left(z-1\right)\left(y-1\right)}\cdot\dfrac{\left(x+z\right)^2}{\left(x-1\right)\left(z-1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(1-z\right)^2}{\left(z-1\right)^2}\cdot\dfrac{\left(1-x\right)^2}{\left(x-1\right)^2}\cdot\dfrac{\left(1-y\right)^2}{\left(y-1\right)^2}\)

=1

Xét ΔCAB vuông tại A và ΔCDE vuông tại D có

\(\widehat{ACB}=\widehat{DCE}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔCAB~ΔCDE

=>\(\dfrac{AC}{DC}=\dfrac{AB}{DE}\)

=>\(\dfrac{AB}{48}=\dfrac{120}{32}\)

=>\(AB=120\cdot\dfrac{48}{32}=120\cdot\dfrac{3}{2}=180\)(m)

Ta có: \(\begin{cases} AB\bot AD\\ DE\bot AD \end{cases} (gt)\Rightarrow AB//DE\)

Xét \(\Delta ABC\) có: \(AB//DE\) (cmt)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{CD}\) (hệ quả đli Talét)

\(\Rightarrow AB=DE\cdot\dfrac{AC}{CD}=48\cdot\dfrac{120}{32}=180\left(m\right)\)

d) \(\left(2024-x\right)^3+\left(2026-x\right)^3+\left(2x-4050\right)^3=0\) (1)

Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}2024-x=a\\2026-x=b\end{matrix}\right.\Rightarrow2x-4050=-\left(a+b\right)\) (*)

Thay (*) vào pt (1), ta được:

\(a^3+b^3+\left[-\left(a+b\right)\right]^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)-\left(a+b\right)^3=0\)

\(\Leftrightarrow-3ab\left(a+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\b=0\\a+b=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2024-x=0\\2026-x=0\\2x-4050=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2024\\x=2026\\x=2025\end{matrix}\right.\)

Vậy \(S=\left\{2024;2025;2026\right\}\).

Câu 16:

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHAC vuông tại H có

\(\widehat{ACB}\) chung

Do đó: ΔACB~ΔHCA
b: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=10^2-8^2=36=6^2\)

=>AC=6(cm)

ΔACB~ΔHCA

=>\(\dfrac{AC}{HC}=\dfrac{CB}{CA}\)

=>\(HC=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{6^2}{10}=3,6\left(cm\right)\)

HB+HC=BC

=>HB+3,6=10

=>HB=6,4(cm)

Câu 17:

Gọi số tiền ban đầu MInh có là x(đồng)

(Điều kiện: x>0)

Số tiền ban đầu Na có là 320000-x(đồng)

Số tiền Minh có sau khi đưa cho Na 40 ngàn đồng là:

x-40000(đồng)

Số tiền Na có lúc sau là 320000-x+40000=360000-x(đồng)

Theo đề, ta có:

x-40000=360000-x

=>2x=400000

=>x=200000(nhận)

Vậy: Số tiền Minh có lúc đầu là 200 ngàn đồng

Số tiền Na có lúc đầu là 320-200=120 ngàn đồng

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔABC~ΔHBA

b: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC=\sqrt{9^2+12^2}=15\left(cm\right)\)

ΔABC~ΔHBA

=>\(\dfrac{AC}{HA}=\dfrac{BC}{BA}\)

=>\(AH=\dfrac{9\cdot12}{15}=\dfrac{108}{15}=7,2\left(cm\right)\)

c: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\dfrac{DB}{AB}=\dfrac{DC}{AC}\)

=>\(\dfrac{DB}{9}=\dfrac{DC}{12}\)

=>\(\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}\)

mà DB+DC=BC=15cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}=\dfrac{DB+DC}{3+4}=\dfrac{15}{7}\)

=>\(DB=\dfrac{45}{7}\left(cm\right);DC=\dfrac{60}{7}\left(cm\right)\)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và tam giác đồng dạng.

a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA; AB^2=BC*HB

Trong tam giác vuông ���ABC, ta có:

• ��=9 cmAB=9cm
• ��=12 cmAC=12cm

Theo định lý Pythagoras, ta có ��=��2−��2=122−92=144−81=63BC=AC2−AB2​=122−92​=144−81​=63​.

Từ đó, ta có: ��2=92=81AB2=92=81 ��=63BC=63​

Trong tam giác vuông ���ABC, đường cao ��AH là đường trung tuyến của tam giác vuông ���ABH, vì ��AH chia ��BC thành hai phần bằng nhau.

Vì vậy, ta có ��=��/2=63/2HB=BC/2=63​/2.

Tam giác ���ABC và ���HBA có góc vuông tại �A và một góc nhọn khác là góc �B. Do đó, theo góc cạnh góc đồng dạng, chúng ta có thể kết luận ���ABC đồng dạng với ���HBA.

Vậy nên, ta có: ����=����/2=2����HBAB​=BC/2AB​=2BCAB​ ��2=��×��AB2=BC×HB

b) Tính độ dài cạnh BC và AH

• Độ dài cạnh ��BC: ��=63BC=63​ (đã tính ở trên)
• Độ dài đoạn ��AH: ��AH chính là đoạn cao từ �A xuống ��BC, và trong tam giác vuông ���ABC, ��AH là cạnh huyền. Do đó, ��=��=12 cmAH=AC=12cm.

c) Tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD

Tia phân giác của góc �A chia ��BC thành hai đoạn thẳng ��BD và ��CD sao cho: ����=����=912=34CDBD​=ACAB​=129​=43​

��BD và ��CD cũng chính là độ dài của các phân đoạn ��BC theo tỉ lệ 3:43:4.

Vậy: ��=33+4×��=37×63BD=3+43​×BC=73​×63​ ��=43+4×��=47×63CD=3+44​×BC=74​×63​

Vậy là chúng ta đã giải xong bài toán!

Giúp em với

Do AM là đường cao \(\Rightarrow AM\perp BC\Rightarrow\widehat{BMH}=90^0\)

Tương tự BN là đường cao nên \(\widehat{BNC}=90^0\)

Xét hai tam giác BMH và BNC có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MBH}-chung\\\widehat{BMH}=\widehat{BNC}=90^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta BMH\sim\Delta BNC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BM}{BN}\Rightarrow BH.BN=BM.BC\)