\(A=x^2y^3-x^3y^2+y^2z^3-y^3z^2-z^3x^2+x^3z^2\)

\(A=\left(x^2y^3-x^2z^3\right)+\left(x^3z^2-x^3y^2\right)+\left(y^2z^3-y^3z^2\right)\)

\(A=x^2\left(y^3-z^3\right)-x^3\left(y^2-z^2\right)-y^2z^2\left(y-z\right)\)

\(A=\left(y-z\right)\left(x^2y^2+x^2yz+x^2z^2-x^3y-x^3z-y^2z^2\right)\)

\(A=\left(y-z\right)\left[\left(x^2y^2-x^3y\right)+\left(x^2yz-x^3z\right)+\left(x^2z^2-y^2z^2\right)\right]\)

\(A=\left(y-z\right)\left[x^2y\left(y-x\right)+x^2z\left(y-x\right)-z^2\left(y^2-x^2\right)\right]\)

\(A=\left(y-z\right)\left(y-x\right)\left(x^2y+x^2z-z^2y-z^2x\right)\)

\(A=\left(y-z\right)\left(y-x\right)\left[y\left(x^2-z^2\right)+xz\left(x-z\right)\right]\)

\(A=\left(y-z\right)\left(y-x\right)\left(x-z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

\(A=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

\(x+2\sqrt{2x^2}+2x^3=0\\ x+2.\sqrt{2}.x+2x^3=0\\ x+1.x+2x^3=0\\ 2x+2x^3=0\\ 2x\left(1+x^2\right)=0\)

ta thấy \(x^2+1>0\)nên để \(2x\left(1+x^2\right)=0\)thì 2x=0 vậy x=0

\(x+2\sqrt{2x^2}+2x^3=0\)

\(\Rightarrow\)\(x\left(1+\sqrt{2x}+2x^2\right)=0\)

\(x=0\)( 1 ) hoặc \(\left(1+\sqrt{2x}+2x^2\right)=0\)( 2 )

\(2\Leftrightarrow\left(1+\sqrt{2x}\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\)\(x=\frac{-1}{\sqrt{2}}\Rightarrow x=\frac{-\sqrt{2}}{2}\)

Vậy \(x=0;x=\frac{-\sqrt{2}}{2}\)

Với \(x\ge0\) , phương trình tương đương : \(x+2\sqrt{2}x+2x^3=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(1+2\sqrt{2}+2x^2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\left(n\right)\\2x^2=-1-2\sqrt{2}\left(l\right)\end{cases}}\)

Với x < 0, phương trình tương đương   \(x-2\sqrt{2}x+2x^3=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(1-2\sqrt{2}+2x^2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\left(l\right)\\2x^2=2\sqrt{2}-1\end{cases}}\)

Với \(2x^2=2\sqrt{2}-1\Rightarrow x^2=\frac{2\sqrt{2}-1}{2}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{\frac{2\sqrt{2}-1}{2}}\left(l\right)\\x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{2}-1}{2}}\left(n\right)\end{cases}}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 0 hoặc \(x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{2}-1}{2}}\)

 x^4 + 3x^2 - 4x - 12 
= x^3 (x -2) + 3(x - 2)(x +2) +2x(x -2) 
=(x -2)(x^3 + 3x + 6 + 2x) 
= (x -2)(x^3 + 5x + 6 ) 
= (x - 2)(x^3 + x^2 -x^2 - x + 6x + 6) 
= (x -2)[x^2(x+1) -x(x+1)+6(x+1)] 
=(x-2)(x+1)(x^2-x+6)

\(x^4+x^3+3x^2+x.\)

\(=2x^4-x^4+x^2+2x^2+x^3+x\)

\(=2x^2.\left(x^2+1\right)+x.\left(x^2+1\right)-x^2.\left(x^2+1\right)\)

\(=\left(x^2+1\right).\left(2x^2+x-x^2\right)\)

\(=\left(x^2+1\right).x.\left(x+1\right)\)

Dựa vào tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

  \(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Suy ra:

   \(a+b=2c;b+c=2a;c+a=2b\)

Từ đẳng thức đầu a + b = 2 c  => a = 2c - b thay vào 2 đẳng thức cuối ta có:

   \(b+c=2\left(2c-b\right)\)  và \(c+\left(2c-b\right)=2b\)

=> b = c => a = c

Vậy a = b = c

Khi đó:

  \(P=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)

Đề nói a,b,c đôi một khác nhau mà bạn

Gọi giao điểm của NP với AB và AC lần lượt là I và J.

Gọi giao điểm của NM với BI là K; của MQ với JC là H.

Theo giả thiết ta suy ra K, H lần lượt là trung điểm của NM và MQ. Hơn nữa ta cũng có  \(NM\perp BI;MQ\perp JC\)

Do NP // MQ mà \(MQ\perp JH\) nên \(NP\perp JH\)

\(\Rightarrow\widehat{AIJ}=90^o-\widehat{BAC}=30^o\)

Vậy nên \(\widehat{NIB}=\widehat{AIJ}=30^o\) (Hai góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\widehat{NIK}=90^o-\widehat{NIB}=60^o\)

Xét tứ giác NPQM có NP // MQ; NM // PQ nên NPQM  là hình bình hành. 

Vậy \(\widehat{PQM}=\widehat{INM}=60^o\)

Ta có \(\widehat{BMK}=90^o-\widehat{ABC}=30^o;\widehat{NMI}=\widehat{INM}=60^o;\widehat{CMH}=90^o-\widehat{ACB}=30^o\)

nên \(\widehat{IMH}=180^o-30^o-60^o-30^o=60^o\)

Suy ra \(\widehat{IMH}=\widehat{PQH}\left(=60^o\right)\)

Xét hình thang IPQM có \(\widehat{IMH}=\widehat{PQH}\) nên nó là hình thang cân.

Ta có H là trung điểm MQ, \(JH\perp MQ;JH\perp IP\) nên I là trung điểm IP.

Xét tam giác AIP có AJ là đường cao đồng thời trung tuyến nên AIP là tam giác cân tại A.

Vậy AJ cũng là phân giác hay \(\widehat{JAP}=\widehat{JAI}=60^o\)

Suy ra \(\widehat{JAP}=\widehat{ACB}\left(=60^o\right)\)

Mà chúng lại ở vị trí so le trong nên AP // BC.

a) MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//BC và MN = 1/2 BC

=> MNCB là hình thang

b) MN = 1/2 BC = 1/2 12,5 = 6,25 cm

c) ADBN là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

DN = 2. MN = BC

d) Ta có MN//BK

=> tam giác IMN đồng dạng với tam giác IBK

=> BK/MN = IB/IN = 1/2 => BK = 1/2 MN

Mà MN = 1/2 DN = 1/2 BC

=> BK = 1/2 MN = 1/2 . 1/2 BC = 1/4 BC

=> KC = BC - BK = BC - 1/4 BC = 3/4 BC

\(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+...+\frac{2}{x\left(x+1\right)}=\frac{99}{101}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{6}+\frac{2}{12}+\frac{2}{20}+...+\frac{2}{x\left(x+1\right)}=\frac{99}{101}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{x\left(x+1\right)}\right)=\frac{99}{101}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)=\frac{99}{101}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)=\frac{99}{101}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{x+1}\right)=\frac{99}{101}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}-\frac{1}{x+1}=\frac{99}{202}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}=\frac{1}{101}\)

\(\Leftrightarrow x=100\)

Hình vẽ thế này đúng ko:

Ta có: \(S_{ABCD}=AB.AD=828m^2\)

Nên \(AD=\frac{828}{23}=36\left(m\right)\)

Do đó diện tích của hình thang ABED là:

\(S_{ABED}=\frac{\left(AB+DE\right).AD}{2}=\frac{\left(23+31\right).36}{2}=972\left(m^2\right)\)

972 m2 k em nha anh 

Đặt \(B=h\left(h+1\right)\left(h+2\right)\left(h+3\right)\)

\(B=h\left(h+3\right)\left(h+2\right)\left(h+1\right)=\left(h^2+3h\right)\left(h^2+3h+2\right)\)

Đặt \(h^2+3h=t,\) ta có \(B=\left(t^2+2t+1\right)-1\)

\(B=\left(t+1\right)^2-1\ge-1\)

Vậy GTNN của B là -1 khi \(t=-1\) hay \(t=-1\Rightarrow h^2+3h=-1\Rightarrow h^2+3h+1=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)

Ta có: \(h\left(h+1\right)\left(h+2\right)\left(h+3\right)=\left[h\left(h+3\right)\right]\left[\left(h+1\right)\left(h+2\right)\right]\)

\(=\left(h^2+3h\right)\left(h^2+h+2h+2\right)=\left(h^2+3h\right)\left(h^2+3h+2\right)\)

Đặt \(h^2+3h+1=a\); khi đó biểu thức sẽ có giá trị là:

\(\left(a-1\right)\left(a+1\right)=a^2-1\)

Thay a = \(h^2+3h+1\); khi đó biểu thức sẽ có giá trị là:

\(\left(h^2+3h+1\right)^2-1\)

Vì \(\left(h^2+3h+1\right)\ge0\)với mọi h

\(\Rightarrow\)Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất \(\Leftrightarrow h^2+3h+1\)nhỏ nhất

Ta có \(h^2+3h+1=\left(h+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\)

Vậy GTNN của \(h^2+3h+1\)là \(-\frac{5}{4}\)

\(\Rightarrow\)GTNN của biểu thức là: \(\left(-\frac{5}{4}\right)^2-1=\frac{9}{16}\)

Vậy GTNN của biểu thức là \(\frac{9}{16}\)