ĐKXĐ : \(x\ge\dfrac{1}{2}\)

Đặt \(\sqrt{2x-1}=a;\sqrt{8x+1}=b\left(a;b\ge0\right)\)

=> \(a^2=2x-1;b^2=8x+1\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{10}=x\)

Lại có \((13x+1).\sqrt{2x-1}=(7x-1).\sqrt{8x+1}-4\)

\(\Leftrightarrow-\left(\sqrt{2x-1}\right)^3+15x.\sqrt{2x-1}=-\left(\sqrt{8x+1}\right)^3+15x.\sqrt{8x+1}-4\)

\(\Leftrightarrow-a^3+15ax=-b^3+15bx-4\)

\(\Leftrightarrow a^3-b^3-\dfrac{3}{2}.\left(a-b\right).\left(a^2+b^2\right)=4\)

\(\Leftrightarrow-\left(a-b\right)^3=8\)

\(\Leftrightarrow a=b-2\)

Thay vào ta được : \(\sqrt{2x-1}=\sqrt{8x+1}-2\)

\(\Leftrightarrow3x+3=2\sqrt{8x+1}\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9x^2-14x+5=0\\x\ge-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\dfrac{5}{9}\end{matrix}\right.\)(tm ĐKXĐ)

A =             1 + \(\dfrac{1}{2}\) + \(\dfrac{1}{4}\) + \(\dfrac{1}{8}\)+ \(\dfrac{1}{16}\) + \(\dfrac{1}{32}\)+ \(\dfrac{1}{64}\)+ \(\dfrac{1}{128}\)

A\(\times\)2 = 2 + 1 + \(\dfrac{1}{2}\) +  \(\dfrac{1}{4}\) + \(\dfrac{1}{8}\) + \(\dfrac{1}{16}\) + \(\dfrac{1}{32}\) + \(\dfrac{1}{64}\)

A \(\times\) 2 - A = 2 - \(\dfrac{1}{128}\)

A \(\times\)( 2-1) = \(\dfrac{255}{128}\)

A = \(\dfrac{255}{128}\)

Gọi \(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{64}+\dfrac{1}{128}\) là T

\(T=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{64}+\dfrac{1}{128}\)

\(2T=2+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+....+\dfrac{1}{64}\)

\(2T-T=\left(2+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+....+\dfrac{1}{64}\right)-\left(1+\dfrac{1}{2}+....+\dfrac{1}{64}+\dfrac{1}{128}\right)\)

\(T=2+\left(1-1\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\right)+....+\left(\dfrac{1}{64}-\dfrac{1}{64}\right)-\dfrac{1}{128}\)

\(T=2+0+0+...-\dfrac{1}{128}\)

\(T=\dfrac{256}{128}-\dfrac{1}{128}\)

\(T=\dfrac{255}{128}\)

\(=\dfrac{20}{21}x\dfrac{21}{22}x\dfrac{22}{23}x...x\dfrac{1999}{2000}\)

\(=\dfrac{20}{2000}=\dfrac{1}{100}\)

=20/21x21/22x22/23x..............x1998/1999x1999/2000

=20x21x22x23x.....................x1998x1999/21x22x23x24x...............x1999x2000

=20/2000

1/100

Xét EAF và EAC có:

+chung đường cao hạ từ e

+AF = 1/3 AC

=> S EAF= 1/3 S EAC

Xét EAC và ABC có:

+Chung đường cao hạ từ C

+AE=3/4 AB

=>S EAC =3/4 S ABC

=> S EAC= (1/3 x 3/4) S ABC = 1/4 S ABC

Tương tự

S BED =1/8 S ABC

S CDF=1/3 S ABC

=> S DEF= S ABC -S BED -S CDF

= S ABC -1/4 S ABC -1/8 S ABC -1/3 S ABC

= 7/24 S ABC

= 7/24 x 1/2 x AB x AC

= 7/24 x 1/2 x 8 x 12 =14 (cm^2)

Xét EAF và EAC có:

+chung đường cao hạ từ e

+AF = 1/3 AC

=> S EAF= 1/3 S EAC

Xét EAC và ABC có:

+Chung đường cao hạ từ C

+AE=3/4 AB

=>S EAC =3/4 S ABC

=> S EAC= (1/3 x 3/4) S ABC = 1/4 S ABC

Tương tự

S BED =1/8 S ABC

S CDF=1/3 S ABC

=> S DEF= S ABC -S BED -S CDF

= S ABC -1/4 S ABC -1/8 S ABC -1/3 S ABC

= 7/24 S ABC

= 7/24 x 1/2 x AB x AC

= 7/24 x 1/2 x 8 x 12 =14 (cm^2)

AB = AD ; BD = AB + AD ⇒ BD = AB \(\times\) 2 

S_{BCD =} S_ABC \(\times\) 2 (vì hai tam giác có chung đường cao hạ từ đỉnh C xuống đáy AB và BD = AB\(\times\)2) (1)

BC = \(\dfrac{1}{2}\) CE ⇒ BC \(\times\) 2 = CE

BE = BC + CE = BC + BC \(\times\) 2 = BC \(\times\) 3  

S_BDE = S_BCD \(\times\) 3( vì hai tam giác có chung đường cao hạ từ đỉnh D xuống đáy BE và BE = BC \(\times\) 3) (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

S_BDE = S_ABC \(\times\) 2 \(\times\) 3 

S_BDE = 5 \(\times\) 2 \(\times\) 3 = 30( cm²)

Đáp số: 30 cm²

Đường cao tam giác ABC =h= 1/2 đường cao tam giác BDE 

Cạnh BE = 3xBC

S_BDE = (3xBC x2xh):2 = 6 x S_ABC =6x5 = 30 (cm2)

d + 15 = r + 105 ⇒ d = r + 105 - 15 ⇒ d = r + 90

Chiều dài hơn chiều rộng là: 105 - 15 = 90 (m)

Theo bài ra ta có sơ đồ:  

Theo sơ đồ ta có:

Chiều rộng là: 90: ( 3-1) = 45 (m)

Chiều dài là: 45 + 90 = 135 (m)

Đáp số: Chiều dài 135 m

             Chiều rộng 45 m

Gọi số cần tìm là abcd

Giả sử số cần tìm đó là : 9999

Ta có : 9999 : 2021 thì được thương lớn nhất là 4 .

⇒ Thương là 4 . Số dư là 4 :

Ta có số cần tìm là :

abcd : 2021 = 4 (4)

⇒abcd = 4 x 2021 + 4 = 8088

Vậy số đó là 8088

Nếu thương lớn hơn hoặc cùng lắm là 5 ta có: 5 \(\times\) 2021 = 10105 (loại) 

Nếu thương là nhỏ hơn hoặc cùng lắm là 4 thì 4\(\times\) 2021 = 8084 (thỏa mãn)

Để được số bị chia lớn nhất thì thương phải lớn  nhất có thể nên thương là 4

Vì thương bằng số dư nên số dư là 4

Số bị chia cần tìm là: 4 \(\times\) 2021 + 4 = 8088

Đáp số: 8088

√4−√7−√4+√7+√7=√2(√4−√7−√4+√7+√7)√2=√8−2√7−√8+2√7+√14√2=√7−2√7+1−√7+2√7+1+√14√2=√(√7−1)2−√(√7+1)2+√14√2=∣∣√7−1∣∣−∣∣√7+1∣∣+√14√2=√7−1−√7−1+√14√2=√14−2√2=√2(√7−√2)√2=√7−√2

Lời giải:
\(\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{8-2\sqrt{7}}{2}}-\sqrt{\frac{8+2\sqrt{7}}{2}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{7}-1)^2}{2}}-\sqrt{\frac{(\sqrt{7}+1)^2}{2}}\)

\(=\frac{|\sqrt{7}-1|}{\sqrt{2}}-\frac{|\sqrt{7}+1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7}-1-(\sqrt{7}+1)}{\sqrt{2}}=\frac{-2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\)

P nguyên <=> \(\dfrac{x-5}{\sqrt{x}+1}\) nguyên

<=> \(\dfrac{x-1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{4}{\sqrt{x}+1}\) nguyên

<=> \(\sqrt{x}-1-\dfrac{4}{\sqrt{x}+1}\) nguyên

=> \(\sqrt{x}+1\inƯ\left(4\right)=\left\{1;2;4\right\}\)  (vì \(\sqrt{x}+1>0\forall x\in N\))

...

Thời gian đoàn tàu chạy qua cây cầu bằng thời gian đoàn tàu đi hết chiều dài cây cầu và chiều dài của đoàn tàu.

Đoàn tàu đi hết quãng đường 450 mét sau:

65 giây - 20 giây = 45 giây

Vận tốc đoàn tàu là:

450 : 45  = 10(m/s)

Chiều dài đoàn tàu là:

10 \(\times\) 20 = 200 (m)

Đáp số: Chiều dài đoàn tàu là 200 m

            Vận tốc đoàn tàu là 10m/s 

Đoàn tàu đi hết quãng đường 450 mét sau:

65 giây - 20 giây = 45 giây

Vận tốc đoàn tàu là:

450 : 45  = 10(m/s)

Chiều dài đoàn tàu là:

10 $\times$ 20 = 200 (m)

Đáp số: Chiều dài đoàn tàu là 200 m

            Vận tốc đoàn tàu là 10m/s