Bất cứ đa thức nào có dạng: \(f\left(x\right)=x^3\left(ax^2+bx+c\right)\) đều thỏa mãn đề bài

sai rồi hôm nay cô giáo em chữa có phải thế đâu 

a) AB là đường kính, C thuộc đường tròn nên \(\widehat{ACB}=90^o\) hay tam giác ABC vuông tại C.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có

 \(BC^2=MB.AB=2.6=12\Rightarrow BC=\sqrt{12}\left(cm\right)\)

b) Xét tam giác cân OAC có OE là đường cao nên đồng thời là phân giác.

Từ đó ta có \(\Delta AOE=\Delta COE\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{ECO}=\widehat{EAO}=90^o\)

Vậy EC là tiếp tuyến của (O) tại C.

c) Xét tam giác AFK, ta thấy ngay B là trực tâm nên \(AK\perp FD\). Lại có \(AD\perp FD\), vậy A, D, F thẳng hàng.

Ta thấy ngay AH là phân giác góc \(\widehat{FAK}\) mà lại là đường cao, vậy tam giác AH đồng thời là trung trực của FK.

B thuộc AH, vậy BF = BK hay tam giác FBK cân tại B.

d) Ta có tứ giác ACHK nội tiếp nên \(\widehat{HCF}=\widehat{AKF}=\widehat{AFK}\) (Tam giác AFK cân)

Ta cũng có \(\widehat{ACO}=\widehat{OAC}\)(Tam giác AOC cân)

Vậy nên \(\widehat{HCF}+\widehat{OCA}=\widehat{CHF}+\widehat{CAO}=90^o\Rightarrow\widehat{OCH}=90^o\)

Vậy thì \(\widehat{ECH}=\widehat{ECO}+\widehat{OCH}=180^o\) hay H, C, E thẳng hàng.

sửa lại

\(A=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\)

\(=a-\frac{ab^2}{1+b^2}+b-\frac{bc^2}{1+c^2}+c-\frac{ca^2}{1+a^2}\)

áp dụng bđt cauchy ta có:

\(b^2+1\ge2b;c^2+1\ge2c;a^2+1\ge2a\)

\(\Rightarrow a-\frac{ab^2}{1+b^2}+b-\frac{bc^2}{1+c^2}+c-\frac{ca^2}{1+a^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}+b-\frac{bc^2}{2b}+c-\frac{ca^2}{2a}\)

\(=a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\)

áp dụng cauchy ta có:

\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)

\(\Rightarrow a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\left(Q.E.D\right)\)

dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

đặt \(A=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}+b-\frac{bc^2}{1+c^2}+c-\frac{ca^2}{1+a^2}\)

\(=\left(a+b+c\right)-\left(\frac{ab^2}{b^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\right)\le3-\left(\frac{ab^2}{2b}+\frac{bc^2}{2c}+\frac{ca^2}{2a}\right)=3-\left(\frac{ab+bc+ca}{2}\right)\ge3-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=\frac{3}{2}\left(Q.E.D\right)\)