Ta có : 4( b² + c² + d² + e²) ≥( b + c + d +e )² ( dễ lắm, bạn tự cm lấy nhé, ) 
=> ( b² + c² + d² + e²) ≥ ( b + c + d +e )²/4 (*) 
G/s bdt đề bài đúng, ta có: 
<=> a² + b²+ c² + d²+ e² - a(b + c + d +e) ≥ 0 
Lại có ( *) => ta có : a² + b²+ c² + d² + e² - a(b + c + d +e) ≥ a² + ( b + c + d +e )²/4 - a(b + c + d +e) 
<=> [ a - ( b + c+ d +e)/2]² => hiển nhiên đúng 
Vậy ta có dpcm. 
Với cách này ta cũng có thể chứng minh các bdt tương tự với 3 biến, 4 biến v.v.... 
Chúc bạn học giỏi, chào bạn!  

Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel ta được: 

\(N=\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{c+a}+\frac{3+c^2}{a+b}=\frac{3}{b+c}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{3}{c+a}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{3}{a+b}+\frac{c^2}{a+b}\)

\(=\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)+3\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}+3.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3^2}{2.3}+3.\frac{9}{2.3}=6\)

Vậy ta có đpcm.

b) \(\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x-1}=2\left|x\right|\)

bien doi ve trai ta co:

\(=\sqrt{x^2+2.\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1}+\sqrt{x^2-2.\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1}\)

\(=\sqrt{\left(x+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2-\left(\frac{1}{2}-1\right)}+\sqrt{\left(x-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2-\left(\frac{1}{2}+1\right)}\)

\(=\sqrt{\left(x+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2+\frac{1}{2}}+\sqrt{\left(x-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2-\frac{3}{2}}\)

den day thi mk chiu

a)Đặt \(x+\frac{4017}{2}=t\) thì pt <=> \(\left(t-\frac{1}{2}\right)^4+\left(t+\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{8}\)

<=>\(\left[\left(t+\frac{1}{2}\right)^2-\left(t-\frac{1}{2}\right)^2\right]^2+2\left(t-\frac{1}{2}\right)^2\left(1+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{8}=0\)

<=>\(\left[\left(t+\frac{1}{2}-t+\frac{1}{2}\right)\left(t+\frac{1}{2}+t-\frac{1}{2}\right)\right]^2+2\left(t^2-\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{8}=0\)

<=>\(\left(2t\right)^2+2\left(t^4-\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{16}\right)-\frac{1}{8}=0\Leftrightarrow4t^2+2t^4-t^2+\frac{1}{8}-\frac{1}{8}=0\)

<=>\(2t^4+3t^2=0\Leftrightarrow t^2\left(2t^2+3\right)=0\Leftrightarrow t^2=0\)(do \(2t^2+3\ge3>0\))<=>t=0

<=>\(x+\frac{4017}{2}=0\Leftrightarrow x=-\frac{4017}{2}\)

Ta có: a√a = √(a².a) = (√a)³ 
=> 1 - a√a = 1 - (√a)³ = (1 - √a)(a + √a + 1) (1) 
Tương tự: 1 + a√a = 1 + (√a)³ = (1 + √a)(a - √a + 1) (2) 
Từ (1) và (2) => [ (1-a√a/1-√a+√a).(1+a√a/1+√a-√a) + 1 ]. 
= [(1 - √a)(a + √a + 1)/(1 - √a) + √a].[(1 + √a)(a - √a + 1)/(1 + √a) - √a ] +1 
=(a + √a + 1 + √a)(a - √a + 1- √a) + 1 
= (a + 2√a + 1)(a - 2√a + 1) + 1 
= (√a + 1)²(√a - 1)² +1 
= [(√a + 1)(√a - 1)]² + 1 
= (a - 1)² + 1 
= a² - 2a + 1 + 1 
= a² - 2a + 2 
=> [ (1-a√a/1-√a+√a).(1+a√a/1+√a-√a) + 1 ] = a² - 2a + 2 (3) 
Áp dụng (3) vào A ta được A = [(1 - a)²]/(a² - 2a + 2) 
<=> A = (a² - 2a + 1)/(a² - 2a + 2) 

tui mới có mẫu giáo thôi

\(\frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}\ge\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+a}\)

dự đoán dấu = xảy ra khi a=b=1

áp dụng cô si cho VT ta có

\(\frac{1}{3a}+\frac{3a}{9}\ge2\sqrt{\frac{3a}{3a.9}}=\frac{2}{3}\)

\(\frac{1}{3b}+\frac{3b}{9}\ge2\sqrt{\frac{3b}{3b.9}}=\frac{2}{3}\)

+ vế với vế ta được

\(VT+\frac{1}{3}\left(a+b\right)\ge\frac{4}{3}\) (1)

áp dụng cô si cho VP ta được

\(\frac{1}{2a+b}+\frac{\left(2a+b\right)}{9}\ge2\sqrt{\frac{\left(2a+b\right)}{\left(2a+b\right).9}}=\frac{2}{3}\)

\(\frac{1}{2b+a}+\frac{\left(2b+a\right)}{9}\ge2\sqrt{\frac{\left(2b+a\right)}{\left(2b+a\right).9}}=\frac{2}{3}\)

\(VP+\frac{1}{3}\left(a+b\right)\ge\frac{4}{3}\) (2)

Từ 1 và 2 \(VT\ge VP...."="\rightarrow a=b=1\)

Q=\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{7}{ab+bc+ac}\)

ap dung bdt cauchy-schwarz dang engel ta co 

\(Q\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac+ab+ac+bc}+\frac{7}{ab+ac+bc}\)

    =\(\frac{3^2}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{7}{ab+bc+ac}\) \(\ge3^2+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=9+21=30\)

dau = xay ra khi a=b=c=1/3