dùng bđt cauchy chứng minh biểu thức trên >=2 rồi chứng minh dấu = không xảy ra

\(\sqrt{x}-\sqrt{x+1}-\sqrt{x+4}+\sqrt{x+9}=0;ĐK:x\ge4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{x+9}=\sqrt{x+1}-\sqrt{x+4}\)

\(\Leftrightarrow2x+9+2\sqrt{x^2+9x}=2x-5+2\sqrt{x^2-5x+4}\)

\(\leftrightarrow14+2\sqrt{x^2+9x}=2\sqrt{x^2-5x+4}\leftrightarrow7+\sqrt{x^2+9x}=\sqrt{x^2-5x+4}\)

\(\leftrightarrow49+14\sqrt{x^2+9x}+x^2+9x=x^2-5x+4\)

\(\leftrightarrow14\sqrt{x^2+9x}=-14x-45\)

\(\leftrightarrow\hept{\begin{cases}196.x^2+9x=196x^2+1260x+2025\\-14x-45\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}504x=2025\\x\le\frac{-45}{14}\end{cases}\leftrightarrow x=\frac{225}{56}}\) loại

-> PT vô nghiệm

áp dụng bđt bunyakovsky cho 2 bộ số (1;1) và (căn x;căn y) ta có: (1^2+1^2)((căn x)^2 +(căn y)^2)>=(1.căn x=1.căn y)^2

                                                                                              <=>2(x+y)>=(căn x+căn y)^2

                                                                                                <=>A=căn x+căn y<=căn(2(x+y))=căn(2.1)=căn 2

đẳng thức xảy ra <=> (căn x)/1=(căn y)/1 và x+y=1<=>x=y=1/2

vậy maxA=căn 2<=>x=y=1/2

Bạn nhân 4 lên rồi tách ra hằng đẳng thức

Ta có 

A=x²+xy+y²-3x-3y+2016

=>4A=4x²+4xy+y² -6(2x+y) + 9 + 3(y²-2y+1) +8052

         =(2x+y)²-6(2x+y)+9 + 3(y-1)² +8052 

        =(2x+y-3)²+3(y-1)²+8052>= 8052

     =>A>=2013

Dấu bang xay ra khi x=y=1

Theo mình thì đề thiếu: \(abc=1\)Mình sẽ giải theo dữ kiện này.

Đặt \(a=x^3;b=y^3;c=z^3\)

Do a;b;c> 0 nên x³;y³;z³>0

Bạn chứng minh bài toán phụ: \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)  (*)

Lại có abc=1=> (xyz)³=1=>xyz=1

Áp dụng (*), ta có:

\(\frac{1}{a+b+1}=\frac{1}{x^3+y^3+xyz}\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}=\frac{z}{x+y+z}\)

Tương tự, ta có: \(\frac{1}{b+c+1}\le\frac{x}{x+y+z}\)

                            \(\frac{1}{c+a+1}\le\frac{y}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\le1\)

Vậy..........

Cách trình bày của mình có thể chưa tốt, bạn thông cảm