\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)-abc=0\)

\(\Leftrightarrow a^2b+abc+a^2c+b^2a+b^2c+abc+c^2b+c^2a=0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)+ac\left(a+b\right)+bc\left(a+b\right)+c^2\left(a+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+ac+bc+c^2\right)\left(a+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0\)

So ez

....

( Nối B với D)

ta có: MB + NB = AB

mà MB + MA = AB

=> MB + NB = MB + MA (=AB)

Xét hình thoi ABCD

có: BD là đường chéo (gt)

=> BD là tia phân giác của góc ABC ( định lí)

=> \(\widehat{ABD}=\widehat{DBC}=\frac{\widehat{ABC}}{2}\left(\cdot\right)\)

mà ^A + ^ABC = 180 độ ( AD// BC, 2 góc trong cùng phía)

thay số: 60 độ + ^ABC = 180 độ

^ABC = 120 độ

Từ (.) => ^ABD = ^DBC = ^ABC/2 = 120 độ/2 = 60 độ

=> ^DBC = 60 độ

ta có: AD = AB ( ABCD là hình thoi)

=> tam giác ABD là tg cân tại A ( định lí)

mà ^A = 60 độ (gt)

=> tg ABD đều ( định lí)

=> AB = BD = AD (tính chất)

^ADB = 60 độ ( tính chất) => ^ADM + ^ MDB = 60 độ ( = ^ADB) (1)

ta có: tg ADM = tg BDN ( c-g-c)

=> DM = DN ( 2 cạnh t/ư) 

=> tg DMN cân tại D ( định lí) (*)

Lại suy ra: ^ADM = ^BDN ( tg ADM = tgBDN)

Từ(1) => ^BDN + ^MDB = 60 độ => ^MDN = 60 độ (**)

Từ (*);(**) => tg MND đều ( định lí)

\(pt\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+1\right)^2-5\left(x^2+y^2+1\right)=-y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+1\right)\left(x^2+y^2-4\right)=-y^2\)

Gọi d là UWCLN của x²+y²+1 và x²+y²-4

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2+1⋮d\\x^2+y^2-4⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(x^2+y^2+1\right)\left(x^2+y^2-4\right)⋮d^2\Rightarrow y^2⋮d^2\Rightarrow y^2⋮d\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2+1⋮d\\x^2-4⋮d\end{cases}}\Rightarrow5⋮d\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2-5+6⋮d\\x^2+5-9⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2+6⋮d\\x^2-9⋮d\end{cases}}\Rightarrow3⋮d\)

Do \(\left(3,5\right)=1\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2+1=a^2\\x^2+y^2-4=b^2\end{cases}\Rightarrow}a^2-1=b^2+4\Rightarrow a^2-b^2=5\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=5\)

Sau đó lập bảng xét các ước của 5 ta tìm được a và b, sau khi tìm được a và b ta sẽ tìm được x và y

kb nha

a) \(B=-x^2+18x+19\)

\(B=-\left(x^2-2\cdot x\cdot9+9^2-100\right)\)

\(B=-\left[\left(x-9\right)^2-100\right]\)

\(B=100-\left(x-9\right)^2\le100\forall x\)( tự lí luận )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x-9=0\Leftrightarrow x=9\)

Vậy B_max = 100 khi và chỉ khi x = 9

b) \(A=2x^2+12x+11\)

\(A=2\left(x^2+6x+\frac{11}{2}\right)\)

\(A=2\left(x^2+2\cdot x\cdot3+3^2-\frac{7}{2}\right)\)

\(A=2\left[\left(x+3\right)^2-\frac{7}{2}\right]\)

\(A=2\left(x+3\right)^2-7\ge-7\forall x\)( tự lí luận )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x+3=0\Leftrightarrow x=-3\)

Vậy A_min = -7 khi và chỉ khi x = -3

\(G=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{4}{a}+\frac{4}{b}\ge\frac{\left(2+2\right)^2}{a+b}=\frac{16}{4}=4\) ( Cauchy-Schwarz dạng Engel ) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=2\)

Vậy GTNN của \(G\)là \(4\) khi \(a=b=2\)

Chúc bạn học tốt ~ 

\(G=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1=2+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)

Ta có: \(a,b>0\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2.\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2.1=2\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{a}\Leftrightarrow a=b\)

\(\Rightarrow a=b=2\)

\(\Rightarrow G\ge2+2=4\)

\(G=4\Leftrightarrow a=b=2\)

Vậy \(G_{min}=4\Leftrightarrow a=b=2\)

Thấy thừa đk a+b=4

Đây là cách khác nhé.