a) \(\Delta ABE,\Delta ACF\) có \(\widehat{A}\) chung và \(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}\left(=90^o\right)\) nên suy ra \(\Delta ABE~\Delta ACF\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}\Rightarrow AB.AF=AC.AE\).

b) Từ \(AB.AF=AC.AE\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\). Từ đó suy ra \(\Delta AEF~\Delta ABC\left(c.g.c\right)\) \(\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)

c) Xét tam giác AEF có \(C\in AE,B\in AF,K\in EF\) và \(K,B,C\) thẳng hàng nên áp dụng định lý Menelaus, ta có \(\dfrac{KF}{KE}.\dfrac{CE}{CA}.\dfrac{BA}{BF}=1\)  (1).

 Mặt khác, cũng trong tam giác AEF, có \(C\in AE,B\in AF,I\in EF\) và AI, EB, FC đồng quy nên theo định lý Ceva, \(\dfrac{IF}{IE}.\dfrac{CE}{CA}.\dfrac{BA}{BF}=1\)   (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(\dfrac{KF}{KE}=\dfrac{IF}{IE}\Leftrightarrow KF.IE=KE.IF\)

\(\dfrac{ }{ }\)

\(A=\dfrac{1}{2.2}+\dfrac{1}{3.3}+\dfrac{1}{4.4}+...+\dfrac{1}{2009.2009}\)

\(\dfrac{1}{2.2}< \dfrac{1}{1.2}=1-\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{1}{3.3}< \dfrac{1}{2.3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\)

\(\dfrac{1}{4.4}< \dfrac{1}{3.4}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\)

...

\(\dfrac{1}{2009.2009}< \dfrac{1}{2008.2009}=\dfrac{1}{2008}-\dfrac{1}{2009}\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{1}{2.2}+\dfrac{1}{3.3}+\dfrac{1}{4.4}+...+\dfrac{1}{2009.2009}< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...\dfrac{1}{2008}-\dfrac{1}{2009}=1-\dfrac{1}{2009}< 1\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{1}{2.2}+\dfrac{1}{3.3}+\dfrac{1}{4.4}+...+\dfrac{1}{2009.2009}< 1\)

Ta có:

\(\dfrac{1}{2\times2}+\dfrac{1}{3\times3}+\dfrac{1}{4\times4}+...+\dfrac{1}{2009\times2009}< \dfrac{1}{1\times2}+\dfrac{1}{2\times3}+\dfrac{1}{3\times4}+...+\dfrac{1}{2008\times2009}\\ =1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2008}-\dfrac{1}{2009}=1-\dfrac{1}{2009}< 1\)

a, 2 + 4 + 6 +...+ 2 \(\times\) n = 210

   A = 2 + 4 + 6 +...+ 2n

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 4 - 2 = 2.

Số số hạng của dãy số trên là: (2n - 2): 2 + 1 = n 

A = (2n + 2).n : 2  = (n+1).n

⇒ (n+1).n = 210 ⇒ (n+1).n = 14 \(\times\) 15 ⇒ n = 14

B, 1 + 3 + 5+...+ (2n - 1) = 225

B = 1 + 3 + 5 +...+ (2n - 1)

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 3 - 1 = 2

Số số hạng của dãy số trên là: ( 2n - 1 - 1): 2 + 1 = n 

B = (2n - 1+1).n : 2  = n.n

⇒n² = 225 ⇒ n² = 15² ⇒  \(\left[{}\begin{matrix}n=15\\n=-15\end{matrix}\right.\); n = -15 loại

Vậy n = 15

Từ 0,2 đến 4,7 có số số hạng là: \(\left(4,7-0,2\right):0,5+1=10\left(số\right)\)

⇒ Tổng 10 số đó là: \(\dfrac{\left(4,7+0,2\right)\cdot10}{2}=24,5\)

\(\left(x+0,2\right)+\left(x+0,7\right)+...+\left(x+4,7\right)=65,5\\ \Leftrightarrow10x+24,5=65,5\\ \Leftrightarrow10x=41\\ \Leftrightarrow x=4,1\)

Vậy x = 4,1

\(a,25\%x=42,6-3,28\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{4}x=39,32\\ \Leftrightarrow x=157,28\)

\(b,x:40\%=7,25+6,75\\ \Leftrightarrow x:40\%=14\\ \Leftrightarrow x=5,6\)

\(c,\dfrac{7011}{25}:\left(x-42,6\right)=117,14-47,03\\ \Leftrightarrow\dfrac{7011}{25}:\left(x-42,6\right)=70,11\\ \Leftrightarrow x-42,6=4\\ \Leftrightarrow x=46,6\)

\(d,0,3\left(x+\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(0,81:27\right)\\ \Leftrightarrow0,3\left(x+\dfrac{1}{3}\right)=0,015\\ \Leftrightarrow x+\dfrac{1}{3}=0,05\\ \Leftrightarrow x=-\dfrac{17}{60}\)

Lời giải:

a. $|x|+|y|=1$

$\Rightarrow |x|=1-|y|\leq 1$ (do $|y|\geq 0$)

$\Rightarrow -1\leq x\leq 1$

Vì $x$ nguyên nên $x\in\left\{-1;0;1\right\}$

Với $x=-1$ thì $|y|=1-|x|=1-|-1|=0\Rightarrow y=0$

Với $x=0$ thì $|y|=1-|x|=1\Rightarrow y=\pm 1$

Với $x=1$ thì $|y|=1-|x|=1-1=0\Rightarrow y=0$

b.

$|x+y-7|\geq 0$

$|x-3|\geq 0$ 

Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì $|x+y-7|=|x-3|=0$

$\Leftrightarrow x+y-7=x-3=0$

$\Leftrightarrow x=3; y=4$

\(\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}+\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}\\ =\sqrt{2}.\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}+\sqrt{2}.\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}\\ =\dfrac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}+\dfrac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}\\ =\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}{\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}+\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}\\ =\dfrac{\left|\sqrt{3}-1\right|}{\left|\sqrt{3}+1\right|}+\dfrac{\left|\sqrt{3}+1\right|}{\left|\sqrt{3}-1\right|}\\ =\dfrac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2+\left(\sqrt{3}+1\right)^2}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\\ =\dfrac{4-2\sqrt{3}+4+2\sqrt{3}}{\sqrt{3^2}-1}\\ =\dfrac{8}{2}\\ =4\)

A = \(\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}\) + \(\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}\)  = \(\dfrac{\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}}{\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right).\left(2+\sqrt{3}\right)}}\)

A = \(\dfrac{2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}}{\sqrt{4-3}}\) = \(\dfrac{4}{1}\) = 4