Let \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\frac{yz}{x^2};\frac{xz}{y^2};\frac{xy}{z^2}\right)\)  we have:

\(\frac{x^4}{y^2z^2+x^2yz+x^4}+\frac{y^4}{x^2z^2+xy^2z+y^4}+\frac{z^4}{x^2y^2+xyz^2+z^4}\ge1\left(○\right)\)

By Cauchy-Schwarz: \(L-H-S_{\left(○\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ_{cyc}x^4+Σ_{cyc}x^2yz+Σ_{cyc}y^2z^2}\)

Hence we need to prove: \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ_{cyc}x^4+Σ_{cyc}x^2yz+Σ_{cyc}y^2z^2}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\geΣ_{cyc}x^4+Σ_{cyc}x^2yz+Σ_{cyc}y^2z^2\)

\(\Leftrightarrow x^2yz+xyz^2+xy^2z\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)

Follow AM-GM's ineq, it's enough to prove the last ineq

The equality occurs when \(a=b=c=1\)

Socola

sôcô la

Tham khảo :

hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước,trong 4h48' sẽ đầy bể.nếu mở vòi thứ nhất trong 3h và vòi thứ hai trong 4h thì được 3/4 bể nước.hỏi mỗi vòi khác chảy thì trong bao lâu mới đầy bể?

 Gọi năng suất vòi 1 là x (x>0) (năng suất ở đây hiểu là sau 1 giờ thì vòi 1 chảy được 1 lượng nước nào đó). Gọi năng suất vòi 2 là y (y>0) => năng suất chung cả hai vòi là x+y. Do sau 4,8 giờ (4h48') thì 2 vòi chảy cùng đầy bể nên 1 giờ thì 2 vòi chảy được lượng nước là 1/4,8 bể = 5/24 bể => x+y =5/24 (1). Do mở vòi thứ nhất trong 3h và vòi thứ hai trong 4h thì được 3/4 bể nước nên ta có phương trình 3x+4y=3/4 (bể) (2), từ (1) và (2) => ta có hệ phương trình x+y =5/24 và 3x+4y=3/4. Giải hệ phương trình này ta được x=1/12 và y=1/8. => thời gian chảy đẩy bể của vòi 1 là 1/x = 12h, và tương tự thì vòi 2 là 8h

sai bét đùa thôi

a: Xét (O) có

ΔABK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔABK vuông tại B

=>BK vuông góc với AB

=>BK//CH

Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔACK vuông tại C

=>AC vuông góc với CK

=>CK//BH

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

b: Vì BHCK là hình bình hành

nên BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

=>M là trung điểm của HK

Xét ΔKAH có

KO/KA=KM/KH

nên OM//AH và OM/AH=KO/KA=1/2

=>OM=1/2AH

\(\hept{\begin{cases}2xy-8x-2y+4=0\\2x^2-4x+4=2y^2-16y+40\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}xy-4x-y+2=0\\x^2-2x+2=y^2-8y+20\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)\left(y-4\right)=2\\\left(x-1\right)^2-\left(y-4\right)^2=3\end{cases}}\)

Đặt   \(x-1=a;\)\(y-4=b\)ta có hpt:

\(\hept{\begin{cases}ab=2\\a^2-b^2=3\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=\frac{2}{b}\\\frac{4}{b^2}-b^2=3\end{cases}}\)

P/S: mk lm đc vậy thôi, bn tham khảo nhé!

        mk mới lớp 8 nên cx ko biết trình bày đúng hay sai

        giải ra thì đc kết quả như của bn Nguyễn Xuân Anh

[x = -1, y = 3]; [x = 3, y = 5]

\(=\sqrt{5+4\sqrt{5}+4}=\sqrt{\left(\sqrt{5}+2\right)^2}=\sqrt{5}+2\)