bài này có lập được bảng biến thiên, nhưng chắc chưa học nên làm cách cơ bản

ta có \(\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}\le\frac{x^2}{2x\sqrt{yz+1}+x}=\frac{x}{2\sqrt{yz+1}+1}\) dấu "=" xảy ra khi x²=yz+1

ta lại có \(2=x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^3-2x\left(y+z\right)-2yz\ge\left(x+y+z\right)^3-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2}-2yz\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\le4\left(1+yz\right)\Rightarrow x+y+z\le2\sqrt{1+yz}\)

\(\Rightarrow\frac{y+z}{x+y+z+1}=1-\frac{x+1}{x+y+z+1}\le1-\frac{x+1}{2\sqrt{yz+1}+1}\)

do đó \(P\le\frac{x}{2\sqrt{yz+1}+1}+1-\frac{x+1}{2\sqrt{yz+1}+1}-\frac{1+yz}{9}=1-\frac{1}{2\sqrt{yz+1}+1}-\frac{1+yz}{9}\)

\(\le1-\frac{1}{yz+1+1+1}-\frac{1+yz}{9}=\frac{11}{9}-\left(\frac{1}{yz+3}+\frac{yz+3}{9}\right)\le\frac{11}{9}-\frac{2}{3}=\frac{5}{9}\)

dấu "=" xảy ra khi \(\orbr{\begin{cases}x=1;y=1;z=0\\x=1;y=0;z=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)

Ta có bảng : 

lỗi @@ đọc nhầm trên tưởng giải PT chưa có nhin  xuống \(\left(x+y\right)^2\)

Làm lại nhớ _-_  sai chịu, làm cái này kham khảo hơi nhìu, chill :v 

\(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=1\)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=1\\\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)\left(\sqrt{y^2+1}-y\right)=1\end{cases}}\)

Kết hợp giả thiết \(x+\sqrt{1+x^2}=y+\sqrt{y^2+1}\)và 

\(\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=\left(\sqrt{y^2+1}-y\right)\)

Ta  có :  \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x^2+1}-x=y+\sqrt{y^2+1}\\\sqrt{y^2+2013}-y=x+\sqrt{x^2+1}\end{cases}}\)

Cộng theo vế ta có : \(-x-y=x+y\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=0\)

a) câu a bạn cho 2 cái căn ở cuối làm j thế

hiệu bằng 0 rồi mà?

A = (x+ căn x^2+2013).(y+ căn y^2+2013) =2013

=> (x+ căn x^2+2013) .(x- căn x^2+2013).(y+ căn y^2+2013) phần (x- căn x^2+2013) =2013

=> -2013 . (y+ căn y^2+2013) phần (x+ căn x^2+2013) = 2013

=> -y  - (y+ căn y^2+2013 ) = x - (x+ căn x^2+2013)   (1)

      -x  - (x+ căn x^2+2013) = y - (y+ căn y^2+2013)    (2)

tu (1) va (2) => x + y = 0

sai đề :>>>

Đặt \(\sqrt{x+3}=a\)  và \(\sqrt{x}=b\). ĐKXĐ : x >= 0.

Ta có: a + 2b = 2 + ab.

<=> a - ab + 2b - 2 = 0.

<=> -a.(b-1) + 2(b-1) = 0.

<=> (2 - a).(b - 1) = 0.

<=> a = 2 hoặc b = 1.

Suy ra \(\sqrt{x+3}=2\)hoặc \(\sqrt{x}=1\).

Từ đó, ta có thể tìm được 1 nghiệm duy nhất của phương trình là x = 1. (x=1 thoả mãn ĐKXĐ).

TA CŨNG TƯƠNG TỰ GIÁ SỬ PHẢN CHỨNG    \(a^2+a+1⋮9\)

=>    \(4a^2+4a+4⋮9\)

=>    \(4a^2+4a+4⋮3\)

=>    \(\left(2a+1\right)^2+3⋮3\)

Mà:    \(3⋮3\)

=>    \(\left(2a+1\right)^2⋮3\)

=>    \(\left(2a+1\right)^2⋮9\)                 (1)

MÀ:    \(\left(2a+1\right)^2+3⋮9\)      (2)

TỪ (1) VÀ  (2) =>    \(3⋮9\)

NHƯNG ĐÂY LÀ 1 ĐIỀU RẤT VÔ LÍ

=> ĐIỀU GIẢ SỬ LÀ SAI

=> TA CÓ ĐPCM.

VẬY    \(a^2+a+1\)     ko chia hết cho 9    \(\forall a\inℤ\)

Giả sử phản chứng    \(4a^2-4a+18⋮289\)

=>    \(\left(2a-1\right)^2+17⋮289\)

=>    \(\left(2a-1\right)^2+17⋮17\)      (   \(289⋮17\))

MÀ:    \(17⋮17\) 

=>    \(\left(2a-1\right)^2⋮17\)

=>    \(\left(2a-1\right)^2⋮17^2\)

=>    \(\left(2a-1\right)^2⋮289\)        (1)

Mà:    \(\left(2a-1\right)^2+17⋮289\)      (2)

TỪ (1) VÀ (2) =>      \(17⋮289\)

Nhưng 17 ko thể chia hết cho 289 được

=> Điều giả sử là sai

=> Ta có ĐPCM.

Vậy     \(4a^2-4a+18\)     ko thể chia hết cho 289     \(\forall a\inℤ\)

a) \(\left(5x-2\right)^2-\left(7-6x\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(5x-2-7+6x\right)\left(5x-2+7-6x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}11x-9=0\\-x+5=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{9}{11}\\x=5\end{cases}}}\)

b) \(\left(3x-1\right)^2+\left(5x+2\right)^2=x+5\)

\(\Leftrightarrow9x^2+6x+1+25x^2+20x+4=x+5\)

\(\Leftrightarrow34x^2+26x+5=x+5\)

\(\Leftrightarrow34x^2+25x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(34x+25\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\34x+25=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\frac{-25}{34}\end{cases}}}\)

c) Tự làm nốt

a) ( 5x - 2 )² - ( 7 - 6x )² = 0

<=> [ 5x - 2 - ( 7 - 6x ) ][ 5x - 2 + ( 7 - 6x ) ] = 0

<=> [ 5x - 2 - 7 + 6x ][ 5x - 2 + 7 - 6x ] = 0

<=> [ 11x - 9 ][ 5 - x ] = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}11x-9=0\\5-x=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{9}{11}\\x=5\end{cases}}\)

b) ( 3x - 1 )² + ( 5x + 2 )² = x + 5 

<=> 9x² - 6x + 1 + 25x² + 20x + 4 = x + 5

<=> 34x² + 14x + 5 = x + 5

<=> 34x² + 14x + 5 - x - 5 = 0

<=> 34x² + 13x = 0

<=> 13x( 34/13x + 1 ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}13x=0\\\frac{34}{13}x+1=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-\frac{13}{34}\end{cases}}\)

c) ( x - 2 )² - ( 3 + 2x )² = 20x - 4 

<=> x² - 4x + 4 - ( 4x² + 12x + 9 ) = 20x - 4

<=> x² - 4x + 4 - 4x² - 12x - 9 - 20x + 4 = 0

<=> -3x² - 36x - 1 = 0

=> Vô nghiệm ( bấm EQN ra nghiệm vô tỉ )